Question

Дан треугольник ABC, на стороне AC взята точка E так, что AE:EC=a, а на стороне AB взята точка D так,что AD:DB=b. Проведены отрезки CD и BE. Найти отношение площади получившегося четырёхугольника к площади данного треугольника.

Answer 1

Точка пересечения CD и BE - M, третья чевиана AF;
Тогда из теоремы Ван-Обеля
AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b;
или
AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
Из теоремы Чевы
(AD/DE)(BF/FC)(CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b;
или, то же самое, BF/BC = a/(a + b); CF/BC = b/(a + b);
То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна
Sabf = S*a/(a + b);
Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть
Samb/Safb = AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b/(b + 1);
собирая все это, можно получить
Samd = S*a/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*b/(b + 1)
точно также можно найти
Same = S*b/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*a/(a + 1);
и остается сложить.
Saemd/S = ab(1/(a + 1) + 1/(b + 1))/(a + b + 1) = (a/(a + 1))(b/(b + 1))(a + b + 2)/(a + b +1) как то так...