Question

В основе четырехугольного ромба с диагоналями 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к основанию под углом 45 °. Вычислить объем пирамиды.

Answer 1

Ответ:

По теорема Пифагора найдём сторону ромба:

4²+3²=5²

=> сторона ромба равна 5

Высота треугольника, который образован половинами диагоналей ромба:

$\frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$

Так как боковые грани наклонены под углом 45 градусов, а высота пирамиды 12/5,то

Площадь основания:

$s = \frac{6 \times 8}{2} = 24$

Объём пирамиды равен площади основания умноженной на высоту :

$v = 24 \times \frac{12}{5} = 57.6$

Answer 2

Чтобы вычислить объем пирамиды, образованной четырехугольным ромбом с заданными параметрами, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания $S_{\text{основания}}$, которая будет равна площади ромба. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

$S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},$

где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.

Подставляем значения диагоналей: $d_1 = 6 \, \text{см}$ и $d_2 = 8 \, \text{см}$:

$S_{\text{ромба}} = \frac{6 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см}}{2} = 24 \, \text{см}^2.$

Теперь найдем высоту $h$ пирамиды. Высота пирамиды будет равна высоте боковой грани ромба, так как боковые грани ромба являются треугольниками прямоугольника и задан угол наклона $45^\circ$.

Мы можем использовать теорему синусов для нахождения высоты треугольника:

$\sin(\theta) = \frac{h}{\frac{d_2}{2}},$

где $\theta$ - угол между диагональю и боковой стороной ромба, $h$ - высота треугольника, $d_2$ - длина диагонали.

Подставляем значения: $\theta = 45^\circ$, $d_2 = 8 \, \text{см}$:

$\sin(45^\circ) = \frac{h}{\frac{8 \, \text{см}}{2}}.$

Решая уравнение, получаем:

$h = \frac{8 \, \text{см}}{2} \cdot \sin(45^\circ) = 4 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.$

Теперь подставляем найденные значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \, \text{см}^2 \cdot 2\sqrt{2} \, \text{см} = \frac{48\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3 \approx 27.313 \, \text{см}^3.$

Объем пирамиды составляет примерно $27.313 \, \text{см}^3$.