Question

1. Из точки А опущен перпендикуляр АВ на плоскость β, точки С и D принадлежат плоскости β, AD = 8 см, ADB= 60 0 , ACB= 30 0 . Найдите длину отрезка АС? 2. Радиус основания цилиндра равен 8 см., образующая цилиндра – 10 см. Найдите площадь поверхности и объём цилиндра.

Answer 1

1:14см

2:площадь.45см

Объем цилиндра 32л

Answer 2

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ADB.

Пусть x обозначает длину отрезка AC. Тогда по теореме косинусов: AB² = AD² + BD² - 2 * AD * BD * cos(ADB)

Так как AD = 8 см и ADB = 60°, мы можем выразить BD через AD и ADB: BD = AD * cos(ADB) BD = 8 * cos(60°) BD = 8 * 0.5 BD = 4 см

Теперь мы можем подставить значения в формулу для AB: AB² = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * cos(60°) AB² = 64 + 16 - 64 * 0.5 AB² = 64 + 16 - 32 AB² = 48 AB = √48 AB = 4√3 см

Так как ACB = 30°, то у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB — гипотенуза, AC — катет, а BC — катет. Из этого треугольника мы можем найти катет AC: cos(ACB) = AC / AB cos(30°) = AC / (4√3) √3/2 = AC / (4√3) AC = (√3/2) * (4√3) AC = 2 * 3 AC = 6 см

Таким образом, длина отрезка AC равна 6 см.

2. Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности его основания: Sбок = 2πrh

Здесь r — радиус основания цилиндра (8 см), h — высота цилиндра (10 см).

Sбок = 2π * 8 * 10 Sбок = 160π см²

Площадь одного основания цилиндра равна площади круга: Sосн = πr²

Sосн = π * 8² Sосн = 64π см²

Общая площадь поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований: Sпов = Sбок + 2Sосн Sпов = 160π + 2 * 64π Sпов = 160π + 128π Sпов = 288π см²

Чтобы найти объём цилиндра, нужно умножить площадь основания на высоту: V = Sосн * h V = 64π * 10 V = 640π см³

Таким образом, площадь поверхности цилиндра равна 288π см², а его объём равен 640π см³.