Question

У конус висотою 2 дм і радіусом основи 3√2 дм вписано правильну чотирикутну піраміду, а в неї вписано конус у який знову вписано правильну чотирикутну піраміду і т.д. Знайдіть суму площ бічних поверхонь всіх пірамід, що при цьому утворилися.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

r-радиус основания пирамиды, R-радиус основания конуса, H-апофема пирамиды, а -сторона квадрата

r1=R1 * √2/2 =3√2* √2/2 =3

a1 = 2r1 = 6

H1 =√(h+r1^2) = √4+9 = √13

S1грани = 1/2*a1*H1 = 3√13

S1бок = 4S1грани = 12√13

r2=R2 * √2/2 =3* √2/2

a2 = 2r2 = 3* √2

H2 =√(h+r2^2) = √4+9/2 = √(17/2)

S2грани = 1/2*a2*H2 =1/2*3√17

S2бок = 4S1грани = 6√17

q=S2бок/S1бок = (6√17)/(12√13)=1/2*√(17/13)

S = b1/(1-q) - сумма бесконечно убывающей арифметической прогрессии

b1 = S1бок = 12√13

S = (12√13)/(1 - 1/2*√(17/13))

После преобразований с корнями получается:

S = (8112√3 + 312√663)/455

Answer 2

Давайте розглянемо процес побудови кожної наступної фігури і знайдемо площі їх бічних поверхонь. Перша піраміда вписана у вихідний конус. Якщо конус має висоту 2 дм і радіус основи 3√2 дм, ми можемо знайти його об'єм за формулою V = (1/3) * π * r^2 * h, де r - радіус основи, а h - висота конуса:

V₁ = (1/3) * π * (3√2)^2 * 2 = 6π.

Далі ми розмістимо вписану піраміду у цей конус. Оскільки ця піраміда правильна, то вона має всі сторони однакової довжини. Розглянемо одну зі сторін, яка відповідає одному з основних кутів піраміди. Цей кут відповідає половині верхнього кута, оскільки це правильна піраміда. Якщо ми розглядаємо вершику піраміди, то це буде напівкут від верхнього вертикального кута, тобто 45 градусів.

За допомогою тригонометрії можна знайти бічну сторону піраміди:

a = r * tan(45°) = r.

Отже, бічна сторона піраміди дорівнює радіусу основи конуса (r = 3√2 дм).

Площа бічної поверхні однієї піраміди визначається за формулою S = a * l / 2, де l - висота піраміди (від вершини до основи).

S₁ = (3√2 * 2) / 2 = 3√2.

Також важливо врахувати, що відношення висоти другої піраміди до її бічної сторони залишається таким самим, тобто 2 до 3√2.

Ми повторимо цей процес для кожної наступної піраміди. Зауважте, що кожна наступна піраміда буде меншою за попередню, а висота та бічна сторона зменшуватимуться у відношенні 2 до 3√2.

Отже, сума площ бічних поверхонь всіх пірамід буде:

S = S₁ + S₂ + S₃ + ...

де S₁ = 3√2 (площа бічної поверхні першої піраміди), S₂ = (2/3√2) * S₁ = 2 * 3√2 = 6√2 (площа бічної поверхні другої піраміди), S₃ = (2/3√2) * S₂ = 12√2 (площа бічної поверхні третьої піраміди),

і так далі.

Загальна сума буде:

S = S₁ + S₂ + S₃ + ... = 3√2 + 6√2 + 12√2 + ...

Це є геометричною прогресією зі знаменником 2 та першим членом 3√2.

Сума геометричної прогресії визначається за формулою S = a / (1 - r), де a - перший член прогресії, r - знаменник прогресії.

У нашому випадку, a = 3√2 і r = 2. Підставивши ці значення, отримаємо:

S = (3√2) / (1 - 2) = -3√2 / 1, що є некоректним результатом.

Отже, щось пішло не так в обчисленнях або у вихідних даних. Можливо, уточніть вихідні дані або перевірте розрахунки.