Question

конус вписано у правильну трикутну піраміду,сторона основи якої дорівнює 6,а кут нахилу бічної грані до площини основи становить 60°. Знайдіть об'єм конуса

Answer 1

Объем конуса равен произведению 1/3 площади основания на высоту пирамиды
Т.е. V = S*H/3

S это площадь равностороннего треугольника со стороной 6 и она равна по формуле Герона √(p*(p-6)*(p-6)*(p-6) ) где p - полупериметр т.е. p=9
т.е. площадь основания = 9√3

H - высоту пирамиды найдем из треугольника образованного высотой пирамиды, высотой боковой грани пирамиды к ребру основания и ее проекцией. Проекция это  1/3 высоты правильного треугольника лежащего в основании пирамиды. Если его сторона 6 то высота основания 6*√3/2
Так как угол наклона боковой грани к основанию 60 то в рассматриваемом прямоугольном треугольнике отношение высоты пирамиды к проекции равно тангенсу 60 т.е. √3
Тогда H = (6*√3/2) * √3 = 9
Тогда V = S*H/3 = (9√3 )* 9 /3 =27√3
Ответ объем конуса = 27√3

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою об'єму піраміди, яка має вигляд:

V = (1/3) * S * h

де S - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

При цьому, щоб знайти площу основи піраміди, нам потрібно знайти довжину бічного ребра піраміди.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, утвореному бічною гранню піраміди, основою трикутника та відрізком, що з'єднує вершину піраміди з центром основи, маємо:

(1/2) * 6 = r * sin(60°),

де r - радіус вписаного конуса.

Розв'язавши це рівняння, отримуємо:

r = 3√3.

Тоді довжина бічного ребра піраміди буде дорівнювати:

l = 2 * r = 6√3.

Висота піраміди, що йде від вершини до центра основи, дорівнює:

h = l * cos(60°) = 3l = 18√3.

Площа основи піраміди дорівнює:

S = (1/4) * l^2 * √3 = 27√3.

Тоді об'єм вписаного конуса буде:

V = (1/3) * S * r = (1/3) * 27√3 * (3√3) = 27.

Отже, об'єм конуса дорівнює 27.