Question

В треугольнике ABC проведена средняя линия MN. Периметр треугольника CMN= 45 см. Определи периметр треугольника ABC. Ответ: PABC=

Answer 1

Ответ:

90

Объяснение:

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

M - середина АС, тогда АС = 2МС

N - середина ВС, тогда ВС = 2NC

АВ = 2MN по свойству средней линии.

pABC = AC + BC + AB = 2MC + 2NC + 2MN = 2(MC + NC + MN) = 2pCMN

pABC = 2 · 45 = 90

Answer 2

Пусть $P_{ABC}$ - периметр треугольника $ABC$, $P_{CMN}$ - периметр треугольника $CMN$.

Средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ является медианой и делит его на два треугольника $CMN$ и $AMN$. Периметр медианного треугольника $CMN$ можно выразить через периметры треугольников $ABC$, $AMN$ и $BMN$ следующим образом:

$P_{CMN} = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{1}{3}(P_{AMN} + P_{BMN})$

Так как $AMN$ и $BMN$ - это треугольники, образованные медианами, их периметры можно выразить через стороны треугольника $ABC$:

$P_{AMN} = \frac{1}{2}(AB + AC + 2MN)$ $P_{BMN} = \frac{1}{2}(BC + BA + 2MN)$

Подставив эти выражения в первое уравнение, получим:

$45 = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}(AB + AC + 2MN) + \frac{1}{2}(BC + BA + 2MN)\right)$

Упростим выражение:

$45 = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{1}{3}(AB + AC + BC + BA + 4MN)$

Мы знаем, что $AB + AC + BC = P_{ABC}$, а также что $MN$ - это половина медианы, которая равна половине $P_{ABC}$:

$45 = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{1}{3}(P_{ABC} + 2 \cdot \frac{P_{ABC}}{2})$ $45 = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{1}{3}(P_{ABC} + P_{ABC})$ $45 = \frac{2}{3}P_{ABC} - \frac{2}{3}P_{ABC}$ $45 = 0$

Выясняется, что полученное уравнение противоречит условиям, исходной информации, что невозможно. Вероятно, была допущена ошибка в условии задачи или в данном решении.