Question

Висота конуса дорівнює 12 см, а радіус основи конуса на 6 см менший за його твірну. Знайдіть площу бічної поверхні конуса

Answer 1

Пусть образующая конуса АС = х, тогда радиус основания конуса ВС = х-6 см.

Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора -

$12^{2}+(x-6)^{2} = x^{2} \\144+x^{2} -12x+36 = x^{2}\\180-12x = 0\\x = 15$

ВС = х-6 см = 15 см-6 см = 9 см.

АС = х = 15 см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле -

$AC*BC\pi\\15*9\pi \\135\pi$

Ответ: 135 см²π.

Answer 2

Давайте спочатку знайдемо радіус твірної конуса.

За відомими даними, радіус основи конуса (r) на 6 см менший за його твірну (l). Тобто: l = r + 6.

Ми також знаємо, що висота конуса (h) дорівнює 12 см.

Застосуємо теорему Піфагора для трикутника, утвореного радіусом, твірною та висотою конуса:

l^2 = r^2 + h^2.

Підставляючи значення l і h:

(r + 6)^2 = r^2 + 12^2.

Розкриваємо квадрат лівого боку:

r^2 + 12r + 36 = r^2 + 144.

Спрощуємо рівняння, віднімаючи r^2 з обох боків:

12r + 36 = 144.

Віднімаємо 36 від обох боків:

12r = 108.

Ділимо обох боки на 12:

r = 9.

Отже, радіус твірної конуса дорівнює 9 см.

Тепер, коли ми знаємо радіус твірної, ми можемо знайти площу бічної поверхні конуса. Площа бічної поверхні конуса визначається формулою:

S = π * r * l,

де r - радіус основи конуса, l - твірна конуса.

Підставляючи відомі значення:

S = π * 9 * (9 + 6),

S = π * 9 * 15,

S = 135π.

Отже, площа бічної поверхні конуса дорівнює 135π квадратних сантиметрів.