Question

Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной a. Найдите скалярное произведение векторов: а) AB•AFб) AB•DEв) AB•DCг) AB•BD

Answer 1

Решение задания приложено.

Answer 2

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

AB • CD = |AB| * |CD| * cos(θ),

где AB и CD - векторы, |AB| и |CD| - их длины, а θ - угол между ними.

Для правильного шестиугольника с длиной стороны a и векторами AB, AF, DE, DC, BD (для удобства, представим, что начало координат находится в центре шестиугольника):

а) AB • AF: AB = AF = a (они равны по длине, так как шестиугольник правильный и все его стороны равны). |AB| = |AF| = a, cos(θ) = cos(0°) = 1, AB • AF = |AB| * |AF| * cos(θ) = a * a * 1 = a^2.

б) AB • DE: DE = 2 * AB = 2 * a (так как DE - диагональ шестиугольника, и она в два раза длиннее стороны). |AB| = a, |DE| = 2 * a, cos(θ) = cos(120°) = -0.5 (поскольку угол между AB и DE равен 120°). AB • DE = |AB| * |DE| * cos(θ) = a * 2a * (-0.5) = -a^2.

в) AB • DC: DC = 2 * AB = 2 * a, |AB| = a, |DC| = 2 * a, cos(θ) = cos(120°) = -0.5. AB • DC = |AB| * |DC| * cos(θ) = a * 2a * (-0.5) = -a^2.

г) AB • BD: BD = AB + DE = a + 2a = 3a, |AB| = a, |BD| = 3a, cos(θ) = cos(60°) = 0.5. AB • BD = |AB| * |BD| * cos(θ) = a * 3a * 0.5 = 1.5a^2.

Итак, скалярные произведения векторов: а) AB • AF = a^2, б) AB • DE = -a^2, в) AB • DC = -a^2, г) AB • BD = 1.5a^2.