Question

ВОПРОСЫ 1. Дайте определение понятия угла между векторами. 2. Что называется скалярным произведением двух векторов? 3. Чему равен скалярный квадрат вектора? 4. Перечислите свойства скалярного произведения двух векторов. 5. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов. 6. При каком условии скалярное произведение двух векторов равно. а) отрицательному числу; б) положительному числу?​

Answer 1

Ответ:

1.

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол). По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°]. Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0о.

2.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

3.скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

4.Определение. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. ... Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

5.Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Даны два вектора ⃗a(xa;ya) a → ( x a ; y a ) и ⃗b(xb;yb) b → ( x b ; y b ) . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

6.Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Answer 2

1. Угол между двумя векторами - это мера разницы направлений этих векторов в пространстве. Он измеряется величиной между 0° (когда векторы направлены в одном направлении) и 180° (когда векторы направлены в противоположных направлениях).

2. Скалярное произведение двух векторов - это операция, которая возвращает скалярную величину (число), полученную путем умножения соответствующих компонент двух векторов и их суммирования. Результат скалярного произведения обозначается точкой или операцией умножения без знака.

3. Скалярный квадрат вектора - это квадрат длины вектора. Он вычисляется путем умножения каждой компоненты вектора на себя и их суммирования. Результат является скалярным значением.

4. Свойства скалярного произведения двух векторов включают:

   • Коммутативность: a · b = b · a
   • Дистрибутивность по сложению: (a + b) · c = a · c + b · c
   • Дистрибутивность по умножению на скаляр: (k · a) · b = k · (a · b) = a · (k · b), где k - скаляр
   • Скалярное произведение вектора с самим собой: a · a = ||a||^2, где ||a|| - длина вектора a (модуль)

5. Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Формулируя условие перпендикулярности для двух векторов a и b, можно записать: a · b = 0.

6. а) Скалярное произведение двух векторов равно отрицательному числу, когда угол между векторами составляет 180° (векторы направлены в противоположных направлениях). б) Скалярное произведение двух векторов равно положительному числу, когда угол между векторами составляет менее 90° (векторы направлены в общем направлении) или более 90° (векторы направлены в противоположных полуплоскостях).