Question

У прямокутному трикутнику АВС з гіпотенузою АВ проведено бісектрису кута В, яка перетинає катет АС у точці M. Знайдіть довжину відрізка ВM, якщо гіпотенуза АВ удвічі більша за катет ВС і відрізок АM на 4 см більший за відрізок СM.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

У прямокутному трикутнику АВС з гіпотенузою АВ проведено бісектрису кута В, яка перетинає катет АС у точці M. Знайдіть довжину відрізка ВM, якщо гіпотенуза АВ удвічі більша за катет ВС і відрізок АM на 4 см більший за відрізок СM.​

Ответ:

 

Объяснение:

Answer 2

Позначимо довжини сторін трикутника АВС:

AB = 2x (де x - довжина катета ВС) AC = 2y (де y - довжина катета АС) BC = 2z (де z - довжина гіпотенузи АВ)

За властивостями бісектриси та рівності площ трикутників можна записати наступні співвідношення:

CM / MC = AB / AC AM * BC = BM * AC

За умовою завдання, гіпотенуза АВ удвічі більша за катет ВС, тобто z = 2x.

Також за умовою, відрізок АM на 4 см більший за відрізок СM, тобто AM = CM + 4.

Підставимо ці значення в співвідношення бісектриси та рівності площ:

CM / MC = 2x / 2y (CM + 4) * 2z = BM * 2y

Спростимо перше рівняння:

CM / MC = x / y

За теоремою Піфагора в трикутнику АВС:

z^2 = x^2 + y^2

Підставимо вираз для z з умови (z = 2x):

(2x)^2 = x^2 + y^2 4x^2 = x^2 + y^2 3x^2 = y^2

Підставимо це значення у друге рівняння:

(CM + 4) * 2(2x) = BM * 2√(3x^2) 8x + 8 = BM * 2√(3)x

Розділимо обидві сторони на 2√(3)x:

4 + 4√(3) / √(3)x = BM

Підставимо знову значення y^2 з попереднього рівняння (3x^2):

BM = 4 + 4√(3) / x

Тепер врахуємо, що AM = CM + 4:

AM = CM + 4 CM + 4 = √(3)x + 4

Отже, довжина відрізка ВM дорівнює:

BM = AM - CM = (√(3)x + 4) - √(3)x = 4

Отже, довжина відрізка ВM дорівнює 4 одиницям.