Question

В прямоуглльном треугольнике одир из углов 30°.Найдите меньшую сторону треугольника,если радиус вписанной окружности равен 4 см.​

Answer 1

Ответ:

Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2х, тогда один катет  равен х(тот, что лежит против угла в 30гр.), а другой 2х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/

Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен

r = ( a + b - c):2, где а и b -катеты, а с - гипотенуза.

r = ( х + х√3 - 2х):2 = 0,5х(√3 - 1)

0,5х(√3 - 1) = 4

Отсюда х = 8/(√3 - 1)

Периметр треугольника: Р = 2х + х + х√3 = х(3 + √3). Полупериметр р = 0,5х(3 + √3)

Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5х(3 + √3) = 2х(3 + √3)

Подставим х = 8/(√3 - 1) и получим

S = 2·(3 + √3)·8/(√3 - 1)

S = 16√3·(√3 + 1)/(√3 - 1)

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти меньшую сторону треугольника, используем свойство вписанной окружности, которое гласит, что радиус вписанной окружности является отрезком, проведенным из центра окружности к точкам пересечения окружности с сторонами треугольника. Пусть меньшая сторона треугольника равна a.

В прямоугольном треугольнике угол, противолежащий меньшей стороне, равен 30°. Таким образом, другой острый угол треугольника будет равен 90° - 30° = 60°.

Пусть O обозначает центр вписанной окружности, а B и C - точки пересечения окружности с меньшей и большей сторонами треугольника соответственно.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то угол BOC (угол, опирающийся на диаметр окружности) будет равен 90°.

Поскольку угол ABC равен 30°, угол BOC будет равен 180° - 30° = 150°.

Также известно, что угол BOC равен удвоенному углу AOC, так как они опираются на одну и ту же дугу BC окружности.

Поэтому угол AOC = 150° / 2 = 75°.

Рассмотрим треугольник AOC. Он является равнобедренным, так как сторона AO равна радиусу окружности (4 см), а угол AOC равен 75°. Таким образом, угол OAC также равен (180° - 75°) / 2 = 52,5°.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны AC треугольника AOC. В прямоугольном треугольнике AOC:

sin(52,5°) = AO / AC, sin(52,5°) = 4 / AC.

Отсюда получаем:

AC = 4 / sin(52,5°).

Используя тригонометрические таблицы или калькулятор, найдем значение sin(52,5°) и вычислим AC:

AC = 4 / 0,7934 ≈ 5,04 см.

Таким образом, меньшая сторона треугольника равна примерно 5,04 см.