Question

Перпендикуляр, який проведено з вершини прямого кута прямокутника до його діагоналі, ділить прямий кут у співвідношенні 4 : 1. Знайди гострий кут між діагоналями прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: обозначим прямоугольник АВСД, высоту ВН, а эти пропорции как 4х и х. Так как угол В=90°, составим уравнение:

4х+х=90

5х=90

х=90÷5

х=18;   угол СВН=18°

угол АВН= 4×18=72°;

Рассмотрим ∆ АВН. Он прямоугольный. Угол АВН=72°; и так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ВАС=углу АСД=90-72=18°. Так как угол А=90°, то угол САД=углу ВСА=90-18=72°

Угол ВСА=углуСАД; и угол АСД=углу ВАС, как внутренние разносторонние.

Answer 2

Позначимо дані елементи прямокутника:

• Нехай ABCD - прямокутник, де AB і BC - його сторони, а AC і BD - діагоналі.
• Нехай E - точка перетину перпендикуляра, проведеного з вершини прямого кута C до діагоналі BD.
• Нехай α - гострий кут між діагоналями AC і BD.
• Нехай x - довжина відрізка CE, y - довжина відрізка AE.

Ми знаємо, що перпендикуляр CE ділить прямий кут C у співвідношенні 4:1, тобто:

CE / DE = 4 / 1 (де DE - відрізок, який ділить прямий кут C)

Також ми можемо використовувати властивість подібних трикутників. Тобто трикутники AEC і CDE є подібними, і ми можемо записати відповідне співвідношення довжин їх сторін:

AE / CE = CE / DE

Знаючи, що AE + CE = AC і DE + CE = DC, ми можемо підставити значення CE з першого співвідношення у друге:

AE / CE = (AC - CE) / (DC - CE)

Замінюючи значення AE і CE на y і x відповідно, отримуємо:

y / x = (AC - x) / (DC - x)

Ми знаємо, що AC = BD (діагоналі прямокутника рівні за визначенням), тому ми можемо підставити AC за BD:

y / x = (BD - x) / (DC - x)

Ми також можемо виразити відрізок DC через x:

DC = BD - x

Підставивши це значення у попереднє рівняння:

y / x = (BD - x) / (BD - x)

Оскільки чисельник і знаменник дробу рівні, це означає, що y / x = 1, або ж y = x.

Отже, ми отримали, що довжина відрізка AE дорівнює довжині відрізка CE (y = x). Це означає, що трикутники AEC і CDE - це прямі кути, і кут ACE дорівнює куту CDE.

Загалом, ми отримали, що гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює куту ACE, який ми показали є прямим кутом. Таким чином, гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює 90 градусів.