Question

Стороны треугольника 9 сантиметров и 6 сантиметров медианы проведенные к этим сторонам взаимно перпендикулярны Найдите площадь треугольника

Answer 1

Ответ:

Медианы пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

В тр-ке АВС медианы АК и  ВМ  пересекаются в точке О. ВС=6 см, АС= 9 см.

Пусть КО=х, МО=у, тогда АО=2х, ВО=2у.

В тр-ке ВОК ВК²=ВО²+КО²,

3²=4у²+х².

В тр-ке АОМ АМ²=АО²+МО²,

4²=4х²+у² ⇒ у²=16-4х², подставим в уравнение выше:

3²=4(16-4х²)+х²,

9=64-16х²+х²,

15х²=55,

х²=11/3.

у²=16-4·11/3=4/3.

АО²=(2х)²=4х², ВО=4у².

В тр-ке АВО АВ²=АО²+ВО²=44/3+16/3=60/3=20.

АВ=√20=2√5 см - это ответ.

Answer 2

Давайте разберемся с данными. У нас есть треугольник с двумя известными сторонами: 9 сантиметров и 6 сантиметров. Также известно, что медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.

Давайте обозначим стороны треугольника как a = 9 см, b = 6 см.

Медианы, проведенные к сторонам треугольника, делят каждую сторону пополам. С учетом этого, мы можем найти длины медиан:

Медиана к стороне a: Медиана к стороне a также является высотой треугольника, опущенной из вершины, противолежащей стороне a. Так как медианы взаимно перпендикулярны, мы можем сказать, что одна из медиан является основанием прямоугольного треугольника, а другая медиана — его гипотенузой.

Давайте обозначим медианы как m1 и m2. Тогда m1 будет основанием, опущенным из вершины, противолежащей стороне a, и m2 будет медианой, идущей к этой вершине.

С помощью теоремы Пифагора для треугольника m1-m2-a, где m1 = m2 (так как медианы делят сторону пополам), мы можем выразить длину медианы:

m1^2 + m2^2 = a^2 m1^2 + m1^2 = 9^2 2 * m1^2 = 81 m1^2 = 40.5 m1 = √40.5 m1 ≈ 6.36 см

Теперь мы знаем длину одной медианы. Так как медианы делят сторону пополам, длина другой медианы также будет 6.36 см.

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона, используя длины сторон треугольника и половину периметра. Полупериметр (s) вычисляется как:

s = (a + b + c) / 2 s = (9 + 6 + 12.72) / 2 s = 13.86 / 2 s ≈ 6.93

Теперь мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади (A) треугольника:

A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)) A = √(6.93 * (6.93 - 9) * (6.93 - 6) * (6.93 - 12.72)) A = √(6.93 * (-2.07) * 0.93 * (-5.79)) A ≈ √(60.68) A ≈ 7.79 см²

Поэтому площадь треугольника составляет приблизительно 7.79 квадратных сантиметров.