Question

Доведіть, що діагоналі AC 1 і ΒD 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Сечением ABC1D1 в кубе является прямоугольник, а в прямоугольнике данные диагонали в точке пересечения деляться пополам.

Answer 2

Для доведення даного твердження розглянемо куб ABCDA1B1C1D1 та позначимо точки наступним чином:

• A (0, 0, 0)
• B (1, 0, 0)
• C (1, 1, 0)
• D (0, 1, 0)
• A1 (0, 0, 1)
• B1 (1, 0, 1)
• C1 (1, 1, 1)
• D1 (0, 1, 1)

Для зручності можемо ввести координати векторами: наприклад, від A до B вектором AB = [1, 0, 0], від B до C вектором BC = [0, 1, 0] тощо.

Діагоналі куба AC1 та BD1 перетинаються в точці E. Вектор діагоналі AC1 можна знайти, віднімавши координати початкової точки від координат кінцевої точки: AC1 = C1 - A = [1, 1, 1] - [0, 0, 0] = [1, 1, 1].

Аналогічно, вектор діагоналі BD1: BD1 = D1 - B = [0, 1, 1] - [1, 0, 0] = [-1, 1, 1].

Знайдемо середину діагоналі AC1. Для цього можна знайти середнє значення координат по вісям: M_AC1 = (A + C1) / 2 = ([0, 0, 0] + [1, 1, 1]) / 2 = [0.5, 0.5, 0.5].

Аналогічно для діагоналі BD1: M_BD1 = (B + D1) / 2 = ([1, 0, 0] + [0, 1, 1]) / 2 = [0.5, 0.5, 0.5].

Як ми бачимо, координати точок M_AC1 та M_BD1 співпадають: [0.5, 0.5, 0.5]. Це означає, що середини діагоналей дійсно збігаються, і точка перетину діагоналей ділиться пополам.

Таким чином, ми довели, що діагоналі AC1 та BD1 куба ABCDA1B1C1D1 перетинаються в точці, яка ділить обидві діагоналі пополам.