Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет AC равен 4см. Угол A в 2 раза меньше внешнего угла при этой же вершине. Найти длину гипотенузы AB.

Answer 1

Ответ:

8 см

Решение на фотографии

Объяснение:

Свойство: катет прям. тр., лежащий против угла в 30гр., равен половине гипотенузы$- >$гипотенуза в 2 раза больше этого катета

Answer 2

Обозначим внешний угол при вершине A как α, а угол A как β. Тогда по условию задачи:

α = 2β.

Также известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

α + β + C = 180°.

Поскольку внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних углов, то:

α = β + C.

Подставим значение α из первого уравнения во второе:

2β = β + C.

Выразим угол C:

C = β.

Из прямоугольного треугольника также известно, что сумма углов равна 90°:

A + B + C = 90°.

Подставим значение угла C:

A + B + β = 90°.

Так как угол A в 2 раза меньше угла α, то:

A = β / 2.

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

β / 2 + B + β = 90°, B + 3/2 * β = 90°.

Теперь у нас есть система уравнений:

2β = β + β, B + 3/2 * β = 90°.

Решая второе уравнение относительно β, получим:

β = 30°.

Теперь мы можем найти угол A:

A = β / 2 = 15°.

Так как мы знаем два угла треугольника, можем найти третий угол:

C = β = 30°.

Теперь, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем найти длину гипотенузы AB. Известно, что:

sin(β) = AC / AB, sin(30°) = 4 / AB.

Отсюда:

AB = 4 / sin(30°) = 4 / 0.5 = 8 см.

Итак, длина гипотенузы AB составляет 8 см.