Question

Знайдіть площу прямокутного трикутника , якщо висота проведена до гіпотенузи ,поділяє її на відрізки 6 см і 24 см.

Answer 1

Для даної задачі треба скористатися властивостями катетів та їх проекцій на гіпотенузу в прямокутному трикутнику.

Перший спосіб

Катет прямокутного трикутника — середнє пропорційне між гіпотенузою $c$ і проекцією цього катета на гіпотенузу:

$a^{2} = a_{c}c \Rightarrow a = \sqrt{a_{c}(a_{c}+ b_{c})} = \sqrt{6 \cdot (6 + 24)} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см

$b^{2} = b_{c}c \Rightarrow a = \sqrt{b_{c}(a_{c}+ b_{c})} = \sqrt{24 \cdot (6 + 24)} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$ см

Площа $S$ прямокутного трикутника знаходится як півдобуток його катетів:

$S = \dfrac{a \cdot b}{2} = \dfrac{6\sqrt{5} \cdot 12\sqrt{5}}{2} = 180$ см²

Другий спосіб

Висота $h_{c}$ прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи $c$ з вершини прямого кута, — середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу:

$h^{2}_{c} = a_{c}b_{c} \Rightarrow h_{c} = \sqrt{a_{c}b_{c}} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$ см

Площа $S$ будь-якого трикутника знаходиться як півдобуток його сторони на висоту, що проведена до цієї сторони. У нашому випадку — це півдобуток гіпотенузи $c$ і висоти $h_{c}$, що до неї проведена:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \dfrac{1}{2} \cdot (6 + 24) \cdot 12 = 30 \cdot 6 = 180$ см²

Відповідь: 180 см².

Answer 2

Нехай ABC - прямокутний трикутник, де AB - гіпотенуза, AC - висота, а відрізки, на які розділяє висота гіпотенузу, мають довжини 6 см і 24 см.

За теоремою про схожість прямокутних трикутників маємо: $\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC}$

Підставимо дані значення: $\frac{AC}{AB} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Отже, $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{4}$, що означає, що пропорція сторін висоти і гіпотенузи також дорівнює $\frac{1}{4}$.

Позначимо сторони прямокутного трикутника таким чином:

• $AB = c$ (гіпотенуза)
• $AC = a$ (висота)
• $BC = b$ (відомий відрізок)

Відомо, що $AC = \frac{1}{4} AB$, тобто $a = \frac{1}{4} c$.

За теоремою Піфагора маємо: $a^2 + b^2 = c^2$

Підставимо вираз для $a$: $\left(\frac{1}{4} c\right)^2 + b^2 = c^2$

Розкриваємо квадрат і спростимо: $\frac{1}{16} c^2 + b^2 = c^2$

Перенесемо $\frac{1}{16} c^2$ на інший бік: $b^2 = \frac{15}{16} c^2$

Отже, $b = \frac{\sqrt{15}}{4} c$.

Тепер маємо пропорцію сторін $b$ та $c$: $\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Тепер можемо обчислити площу прямокутного трикутника за формулою: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c$

Підставимо значення $b$ та $c$: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} c \cdot c = \frac{\sqrt{15}}{8} c^2$

Враховуючи, що $b^2 = \frac{15}{16} c^2$, то $c^2 = \frac{16}{15} b^2$. Підставимо це значення в формулу для площі: $S = \frac{\sqrt{15}}{8} \cdot \frac{16}{15} b^2 = \frac{2}{\sqrt{15}} b^2$

Отже, площа прямокутного трикутника дорівнює $\frac{2}{\sqrt{15}}$