Question

Отрезки ав и cd пересекаются в точке о. Отрезки ac и bd равны и параллельны. Докажите что отрезки ab и cd имеют общую середину.

Answer 1

Дано:

АВ и CD

AB ∩ CD = O

AC || BD

AC = BD

Доказать:

О - середина АВ и CD.

Решение:

Рассмотрим △АОС и △BOD:

AC = BD, по условию.

При пересечении двух параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны.

=> ∠ODB = ∠OCA, как накрест лежащие

=> ∠OBD = ∠OAC, как накрест лежащие

=> △АОС = △BOD, по 2 признаку равенства треугольников.

=> О - общая середина АВ и CD.

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся свойствами параллельных линий и теоремой о средине отрезка.

Поскольку отрезки AC и BD равны и параллельны, это означает, что треугольники AOC и BOD подобны. Это следует из теоремы об одной паре углов между параллельными линиями, образованных пересекающими их прямыми.

Таким образом, соотношение длин отрезков AO и BO равно соотношению длин отрезков CO и DO. Обозначим эти соотношения как k.

Итак, мы имеем: AO/BO = CO/DO = k

Далее, рассмотрим точку M, которая является серединой отрезка AB. Поскольку AM и MB равны и параллельны отрезкам AC и BD, мы можем применить аналогичное рассуждение:

AM/BM = CM/DM = k

Из этих двух равенств следует, что отношение длин отрезков AM и BM также равно k. Это означает, что точка M лежит на прямой, проходящей через точки C и D.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AB и CD имеют общую середину в точке M.