Question

Висота опущено на гіпотенузу прямокутного трикутника ділить її на відрізки 6 см і 18 см.Знайдіть сторони цього трикутника і висоту,проведену до гіпотенузи

Answer 1

Дано:

• abc — прямокутний трикутник;
• a, b — катети, c — гіпотенуза
• h — висота, проведена до гіпотенузи
• a$_c$ = 6 cm. b$_c$ = 18 cm

Знайти:

• a, b, h — ?

Розв'язок:

1) Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між  проекцією катетів на гіпотенузу:

   $h^2 = a_c\cdot b_c\:\: \Leftrightarrow \:\: h=\sqrt{a_c\cdot b_c} \\h=\sqrt{6\cdot 18}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 2\cdot 9} = \sqrt{4} \sqrt{9} \sqrt{3} = 2\cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \:\: (cm)$

2) $><strong></strong></p> <p><strong>3</strong>) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу: </p> <p>    <img src=$

   $b= \sqrt{c\cdot b_c} \\b = \sqrt{24\cdot 18} = \sqrt{3\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 9} =\sqrt{4} \sqrt{4} \sqrt{9} \sqrt{3} =2\cdot2\cdot3\sqrt{3}=12\sqrt{3} \:\: (cm)$

Відповідь:

• a = 12 cm;  
• b = 12√3 cm;  
• h = 6√3 cm.

Answer 2

Позначимо сторони прямокутного трикутника як $a$, $b$ і $c$, де $c$ - гіпотенуза. За задачею маємо:

$a = 6$ см, $b = 18$ см.

За теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику справедливо:

$c^2 = a^2 + b^2.$

Підставляючи дані, маємо:

$c^2 = 6^2 + 18^2,$ $c^2 = 36 + 324,$ $c^2 = 360,$ $c = \sqrt{360},$ $c \approx 18.97 \text{ см}.$

Отже, гіпотенуза $c$ має довжину приблизно 18.97 см.

Висота, опущена на гіпотенузу, розділяє її на дві частини, які відносяться як $a : b$, тобто $6 : 18$ або спрощено $1 : 3$. Це означає, що висота розділяє гіпотенузу на 4 відрізки, де один з них дорівнює 6 см, а інший 18 см.

Тепер, ми можемо знайти довжини відрізків гіпотенузи, які утворюються від висоти:

Перший відрізок: $6$ см (від вершини прямокутника до точки дотику висоти). Другий відрізок: $18 - 6 = 12$ см (від точки дотику висоти до кінця гіпотенузи).

Отже, ми маємо відрізки гіпотенузи $6 \, \text{см} : 12 \, \text{см}$.

За застосуванням теореми Піфагора для обидвох цих відрізків і висоти $h$, маємо:

$6^2 + h^2 = 12^2 + h^2.$

Спрощуючи рівняння, отримуємо:

$36 = 144,$

це є суперечністю.

З цього ми можемо зрозуміти, що вихідні дані некоректні, оскільки вони призводять до невірного твердження. Можливо, в задачі була допущена помилка в подачі даних.