Question

ПОМОГИТЕ ЛЮДИ ДОБРЫЕ!!Точка М равноудалена от всех сторон прямоугольного треугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если его гипотенуза на 3 см и 6 см больше от катетов.

Answer 1

Расстояние от точки М до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра, основание которого - центр окружности вписанной в прямоугольный треугольник. т.к. раз точка равноудалена от сторон треугольника, то наклонные ММ₁=ММ₂, значит, равны и их проекции, т.е. от сторон треугольника АВС равноудалена и точка О, значит, точка О-это центр вписанной окружности, по свойству касательной ОМ₁⊥ВС, радиус легко найти из соотношения r=(a+b-c)/2, стороны треугольника ищем по теореме Пифагора, для этого приходится решать квадратное уравнение, я его решил по Виету, хотя можно было и через дискриминант ,кому как удобнее, а затем из прямоугольного треугольника МОМ₁  нашел искомое расстояние, еще раз применив теорему Пифагора. Более детально во вложении.

Ответ 5 см.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой (пусть она будет AB) длиной 3 см + 6 см = 9 см, так как гипотенуза больше катетов. Пусть катеты треугольника будут AC и BC.

Точка M находится на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Это означает, что точка M находится в центре сферы, описанной вокруг треугольника ABC, и радиус этой сферы равен 4 см.

Так как M находится в центре описанной сферы, то она также будет находиться на пересечении медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной окружности. Так как наш треугольник прямоугольный, центр описанной окружности будет находиться на середине гипотенузы AB.

Таким образом, расстояние от точки M до каждой из сторон треугольника равно расстоянию от точки M до середины гипотенузы AB.

Мы знаем, что гипотенуза AB равна 9 см. Расстояние от точки M до середины гипотенузы будет половиной длины гипотенузы:

Расстояние от M до сторон треугольника = (Длина гипотенузы AB) / 2 = 9 см / 2 = 4.5 см.

Итак, расстояние от точки M до каждой из сторон треугольника составляет 4.5 см.