Question

100 баллов Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС соответственно в точках М и К, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой МК.С объяснением пожалуйста​

Answer 1

Так как нужно доказать, что вершины  треугольника равноудалены от прямой МК, то проведем перпендикуляры к этой прямой из вершин треугольника: АХ, BY и CZ (расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр).

Рассмотрим образовавшиеся треугольники АХМ и BYM. Они прямоугольные по построению. АМ=ВМ, так как по условию М - середина АВ. Углы АМХ и ВМY равны, так как они вертикальные. Значит, треугольники АХМ и BYM равны по гипотенузе и острому углу. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. В частности, против равных углов АХМ и BYM лежат равные стороны АХ и ВY.

Аналогично, рассмотрим треугольники ВYK и CZK. Они прямоугольные по построению. BK=CK, так как по условию K - середина ВC. Углы BKY и CKZ равны, так как они вертикальные. Значит, треугольники ВYK и CZK равны по гипотенузе и острому углу. Против равных углов BKY и CKZ лежат равные стороны ВY и CZ.

Итак, с одной стороны АХ=ВY, с другой стороны ВY=CZ. Значит, АХ=ВY=CZ. Это и есть расстояния от вершин треугольника до прямой МК. Значит, вершины  треугольника равноудалены от прямой МК.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим данный треугольник АВС и прямую МК, а также введем некоторые обозначения.

Пусть точка М - середина стороны АВ треугольника АВС, а точка К - середина стороны ВС. Проведем отрезки АМ и КС, соединяющие вершины треугольника с серединами соответствующих сторон. Также, пусть N - точка пересечения прямых МК и АС.

Теперь рассмотрим следующие соотношения:

1. По определению серединного перпендикуляра, отрезок АМ перпендикулярен стороне ВС и равен ей пополам. Аналогично, отрезок КС перпендикулярен стороне АВ и равен ей пополам.

2. Так как отрезки АМ и КС являются перпендикулярами к сторонам ВС и АВ соответственно, то они пересекаются в точке N.

Теперь мы можем приступить к доказательству.

Докажем, что точка N является серединой отрезка АС:

Поскольку АМ и КС - это перпендикуляры, а точка N - их пересечение, то АМKN - это параллелограмм (так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны). Значит, отрезок АN равен отрезку КМ, и АН = КН.

Теперь докажем, что точка N лежит на прямой МК:

Из определения точек М и К следует, что МК - это серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС. Это означает, что отрезок МН перпендикулярен стороне ВС и равен ей пополам.

Таким образом, у нас есть два перпендикуляра: АМ и МН, опущенные из вершины А на стороны ВС и ВС треугольника АВС соответственно. По свойству перпендикуляра, эти две прямые пересекаются, и точка пересечения, которую мы обозначили как N, лежит на прямой МК.

Итак, мы доказали, что точка N является серединой отрезка АС и лежит на прямой МК. Таким образом, мы показали, что вершины треугольника АВС равноудалены от прямой МК, потому что отрезок АН равен отрезку КН (точка N - середина стороны АС) и АМ = МН (по определению точек М и К).

Это завершает доказательство.