Question

Знайти радіус кола, описаногонавколо трикутника АВС, якщоAB=10см, а кут С дорівнює 30°.​

Answer 1

по теореме синусов:

А В/синус угла С = 2R

10/sin30° = 2R

10 : 1/2 = 2R

20 = 2R

R = 20/2

R = 10

Ответ: радиус окружности, описанного около треугольника АВС, равен 10 см.

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, описаного навколо трикутника, можна скористатися теоремою синусів або косинусів. Однак, в даному випадку, найбільш відповідним варіантом є використання теореми синусів, оскільки маємо інформацію про сторону трикутника та кут, що лежить проти цієї сторони.

Теорема синусів говорить, що для будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c та протилежними їм кутами A, B, C, виконується співвідношення:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

У нашому випадку маємо сторону AB = 10 см та кут C = 30°. Оскільки ми шукаємо радіус R кола, описаного навколо трикутника ABC, то нам потрібно знайти сторону AC, яка є діаметром цього кола.

Застосовуючи теорему синусів, маємо:

$\frac{AC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B}$.

Враховуючи, що в синусах кут С дорівнює 30° (оскільки ми маємо дані про кут C), отримаємо:

$\frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sin B}$.

Звідси можемо знайти вираз для сторони AC:

$AC = 20 \cdot \sin B$.

Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180°, то кут B можна знайти як:

$B = 180° - 30° - \angle A$.

Так як сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°, а ми маємо один кут 30°, то кут A дорівнює:

$\angle A = 180° - 30° - \angle B = 150° - \angle B$.

Тепер, маючи значення кута A, ми можемо знайти значення синусу кута B:

$\sin B = \sin (150° - \angle B)$.

Тут може знадобитися використання тригонометричних тотожностей, або можна ввести допоміжний кут, який доповнює до 180° зменшений кут B, і використовувати властивості синуса цього допоміжного кута. Але цей розрахунок вимагає більше обчислень.

Знаючи значення синусу кута B, можна обчислити сторону AC:

$AC = 20 \cdot \sin B$.

І накінець, радіус кола $R$ буде половиною діаметра $AC$:

$R = \frac{AC}{2}$.