Question

Отрезки AB и CD CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDCD, если AB=30AB=30, CD=16CD=16, а расстояние от центра окружности до хорды ABAB равно 88

Answer 1

Ответ:

15

Объяснение:

Треугольник AOB равнобедренный, так как AO=OB – как радиусы окружности. OM – расстояние от точки O до хорды AB, то есть,ОМ перпендикулярна АВ , получаем, что OM – высота и медиана (AM=MB) треугольника AOB. Так как AB=30, то AM=15. Найдем длину AO из прямоугольного треугольника AMO по теореме Пифагора:

АО= √ОМ^2+AM^2 = √8^2+15^2 = 17

Также это означает, что OC=OD=AO=17. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH (OH – расстояние от точки O до хорды CD) со стороной CH=CD:2=8. По теореме Пифагора находим длину OH:

OH = √OC^2-CH^2 = √17^2-8^2 = 15

Answer 2

Мы знаем, что для данной окружности расстояние от центра до хорды равно половине длины перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Также, известно, что для пересекающихся хорд на одной окружности, произведение отрезков хорд равно произведению расстояний от центра до хорд.

Из данной информации мы можем записать следующее:

1. $AC \cdot BD = OC^2 - R^2$, где $AC$ и $BD$ - отрезки хорд $CD$ и $AB$ соответственно, $OC$ - расстояние от центра до хорды $CD$, $R$ - радиус окружности.

2. $AC \cdot BD = 88 \cdot 16 = 1408$ (расстояние от центра до хорды $AB$ равно 88, а $CD = 16$).

3. $AC + BD = 30$ (длина хорды $CD$ равна 30).

Из этих уравнений мы можем найти отрезки $AC$ и $BD$:

$AC = \frac{1408}{BD}$

$BD = 30 - AC$

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

$\frac{1408}{30 - AC} = AC$

Решая это уравнение, найдем $AC \approx 24.064$.

Теперь, когда мы знаем $AC$, можем подставить его в уравнение $AC + BD = 30$ и найти $BD \approx 5.936$.

Используя теперь формулу $OC^2 - R^2 = AC \cdot BD$, подставляем известные значения:

$OC^2 - R^2 = 24.064 \cdot 5.936$

$OC^2 - R^2 = 142.823104$

Так как $OC$ - расстояние от центра до хорды $CD$, а $R$ - радиус окружности, то $OC^2 - R^2$ равно квадрату расстояния от центра до хорды $CD$. Таким образом:

$OC^2 = R^2 + 142.823104$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон:

$OC \approx 11.944$

Итак, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ составляет около 11.944.