Question

ПОМОГИТЕ ПРОШУ В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Чему равны углы треугольника A1B1C1, если ∠A=110∘, ∠B=40∘, ∠C=30∘?

Answer 1

Ответ: 40°,  60°, 80°

Объяснение:

   Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высота из тупого угла проходит внутри треугольника, а высоты из вершин острых углов перпендикулярны продолжениям сторон, к которым проведены.

Пусть продолжения высот пересекаются в некоторой точке К.

Треугольник ВКС - остроугольный.

 В прямоугольном треугольнике СВВ1 ∠ВСВ1=30°, ⇒ ∠СВВ1=90°-30°=60°.

  В прямоугольном треугольнике ВСС1 ∠СВВ1=40° ⇒

∠ВСС1=90°-40°=50°

Из суммы углов треугольника ∠К=180°-угол В-угол С=180°-60°-50°=70°

  В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному ( теорема).

  В ∆ А1СС1 ∠А1=∠ВКС=70°, ∠С1=углу КВС=60°

В ∆ А1ВВ1 ∠В1А1К=∠ВКС =70°

Угол В1А1С1 равен разности между развернутым углом ВА1С  и двух углов по 70°, ,  т.е. ∠В1А1С1=180°-2•70°=40°.

Аналогично в ∆ В1КС1 ∠КС1В1=∠КВС=60° ⇒

∠В1С1А1 равен разности величин развернутого угла КС1С и двух углов по 60°.

В ∆ А1В1С1 угол С1=180°-2•60°=60°

Из суммы углов треугольника в ∆ А1В1С1 угол В1=180°-40°-60°=80°

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами высот треугольника и свойствами параллельных линий. Обозначим углы треугольника A1B1C1 как α, β и γ.

1. Поскольку высота треугольника проходит через вершину и перпендикулярна соответствующей стороне, она разбивает эту сторону на две сегмента, пропорциональные длинам смежных сторон треугольника. Следовательно, A1A/B1B = AC/BC, а также A1A/CC1 = AB/BC.

2. Также, по свойству высот треугольника, точки A1, B1 и C1 лежат на окружности, диаметром которой является отрезок, соединяющий вершину треугольника с основанием противоположной стороны. Так как A1A/B1B = AC/BC, точка A1 лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C.

3. Из свойства окружности, центральный угол, под которым огибающая окружность пересекает окружность, равен половине угла, стоящего на дуге. То есть, ∠A1C1B1 = 1/2 * ∠ACB.

Исходя из этих свойств, мы можем рассмотреть треугольник A1C1B1:

∠A1C1B1 = 1/2 * ∠ACB = 1/2 * 30° = 15°

Таким образом, угол A1C1B1 равен 15°.

Аналогичным образом, можно найти уголы B1A1C1 и C1B1A1.

Угол B1A1C1: ∠B1A1C1 = 1/2 * ∠BCA = 1/2 * 110° = 55°

Угол C1B1A1: ∠C1B1A1 = 1/2 * ∠CAB = 1/2 * 40° = 20°

Итак, углы треугольника A1B1C1 равны: ∠A1C1B1 = 15° ∠B1A1C1 = 55° ∠C1B1A1 = 20°