Question

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла при основании. Найти высоту трапеции , если ее площадь равна 9√3

Answer 1

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла при основании. Найти высоту трапеции , если ее площадь равна 9√3

Объяснение:

АВСМ-равнобедренная трапеция.

1)Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. Пусть О-принадлежит АМ . Тогда ОА=ОС=ОМ как центры описанной окружности , т. к. центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы .

2)Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при  АМ||ВС, АС-секущая⇒ΔАВС-равнобедренный и ВА=ВС. Значит и ВА=ВС=МС.

3)ΔОАВ=ΔОВС=ΔОСМ по трем  сторонам ВА=ВС=МС, остальные радиусы......Значит

-  ∠3=∠4=∠5=180°:3=60°.

-  их площади равны и S(ΔОСМ )=9√3:3=3√3.

3)В ΔОСМ  ,∠СОМ=60° и ОС=ОМ ⇒ два других угла по 60°⇒этот  треугольник равносторонний.

S( равност.тр)=(а²√3):4  .Найдем сторону  треугольника  (а²√3):4=3√3  или а²=12  , а=√12 .

Площадь можно найти иначе S( равност.тр)=1/2*а*h.

3√3=1/2*√12*h  или h=3.

Answer 2

Пусть ABCD - равнобокая трапеция, где AB и CD - основания, BC - боковая сторона, а AC и BD - диагонали. Мы знаем, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне BC и является биссектрисой острого угла при основании AB.

Давайте обозначим:

• $h$ - высоту трапеции (расстояние между основаниями AB и CD);
• $x$ - расстояние от вершины A до диагонали AC;
• $y$ - расстояние от вершины B до диагонали BD.

Из условия, что диагональ AC является биссектрисой острого угла при основании AB, можно сказать, что треугольник ABC является равнобедренным. Это означает, что $AC = BC$.

Из прямоугольного треугольника ABC (получаемого из трапеции) мы можем получить следующее уравнение: $\sin(\angle BAC) = \frac{h}{x}.$

Также, так как ABC - равнобедренный треугольник, то у нас есть: $\sin(\angle BAC) = \sin(\angle BCA) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{BC} = 1.$

Теперь мы можем уравнять два уравнения, связанных с синусом угла BAC: $\frac{h}{x} = 1 \implies h = x.$

Мы знаем, что площадь трапеции можно выразить как: $S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h.$

Подставляя $h = x$ и $AB + CD = BC$ (так как это равнобедренная трапеция), получаем: $9\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot x.$

Так как $BC = AC$ и мы обозначили $AC = x$, получаем: $9\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{x^2}{2}.$

Решая это уравнение относительно $x$, получаем: $x^2 = 18\sqrt{3} \implies x = \sqrt{18\sqrt{3}} = 3\sqrt{6}.$

Так как $h = x$, то $h = 3\sqrt{6}$. И это будет высотой трапеции.