Question

висота циліндра дорівнює 5√ 3, а діагональ осьового перерізу утворює зплощиною основи кут 30 . знайдіть об’єм циліндра.

Answer 1

Ответ:

Объем цилиндра равен $\displaystyle \frac{1125\sqrt{3} }{4} \pi$   (ед³.)

Объяснение:

Высота цилиндра равна 5√ 3, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30° . Найдите объем цилиндра.

Дано: цилиндр;

CD = 5√3 - высота цилиндра;

∠САD = 30°

Найти: V цилиндра.

Решение:

• Объем цилиндра найдем по формуле:

                 V = πR²H,

где R - радиус основания, H - высота цилиндра.

Высоту знаем, надо найти радиус.

Рассмотрим ΔACD - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\angle CAD=\frac{CD}{AD}\\ \\tg30^0=\frac{5\sqrt{3} }{AD}\\ \\AD=\frac{5\sqrt{3}\cdot3 }{\sqrt{3} } =15$

• Радиус равен половине диаметра.

AD = 15 - диаметр   ⇒  R = 15/2

Найдем объем:

$\displaystyle V=\pi \cdot \frac{225}{4}\cdot 5\sqrt{3} =\frac{1125\sqrt{3} }{4} \pi$   (ед³.)

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження об'єму циліндра нам потрібні його висота та радіус. Ми маємо дані про висоту циліндра і кут між діагоналлю осьового перерізу і площиною основи.

За даними, висота циліндра дорівнює 5√3, і кут між діагоналлю та площиною основи дорівнює 30 градусів.

Давайте знайдемо радіус основи циліндра. Оскільки ми маємо кут 30 градусів, можемо застосувати тригонометричні співвідношення для прямокутного трикутника:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}} = \frac{r}{\text{півдіагональ}}$.

За тими ж самими тригонометричними співвідношеннями, $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким чином, ми маємо: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{\text{півдіагональ}}$.

Півдіагональ дорівнює половині діагоналі, яка утворює кут 30 градусів, тобто $\frac{\text{діагональ}}{2} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Звідси можемо виразити радіус $r$:

$r = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\text{діагональ}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \text{діагональ}$.

Замінивши значення діагоналі, ми отримаємо:

$r = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 2r = \frac{2\sqrt{3}}{3}r$.

Тепер ми можемо знайти об'єм циліндра, використовуючи формулу:

$V = \pi r^2 h$,

де $h$ - висота циліндра.

Підставляючи значення $r$ та $h$:

$V = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}r\right)^2 \cdot 5\sqrt{3} = \pi \cdot \frac{12}{9} \cdot r^2 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{20\pi}{3}r^2\sqrt{3}$.

А оскільки ми вже виразили $r$ через діагональ, то:

$V = \frac{20\pi}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \text{діагональ}\right)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{20\pi}{27} \cdot \text{діагональ}^2 \cdot 3$.

Зведення до спрощеного вигляду:

$V = \frac{60\pi}{27} \cdot \text{діагональ}^2 = \frac{20\pi}{9} \cdot \text{діагональ}^2$.

Таким чином, об'єм циліндра буде $\frac{20\pi}{9}$ помножити на квадрат діагоналі осьового перерізу.