Question

Точка О - центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон сторон AC и BC треугольника ABC, см. рисунок. Докажите, что угол AOB = 90 градусов - 1/2 угла ACB.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Точка О - центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон сторон AC и BC

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическими свойствами касательных и центральных углов.

Пусть точка O - центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC и касающейся стороны AB в точке T. Мы хотим доказать, что угол AOB равен 90 градусов минус половине угла ACB.

Для начала заметим следующее:

1. Угол ATO - центральный угол, соответствующий дуге AC.
2. Угол BTO - центральный угол, соответствующий дуге BC.
3. Угол ABO - угол между радиусом AO и касательной BO, проведенной из точки T.

Также обратим внимание, что угол ACB - это угол между сторонами треугольника ABC в вершине C.

Теперь перейдем к доказательству.

1. Угол ATO = углу ACB (центральный угол и дуга AC)
2. Угол BTO = углу ACB (центральный угол и дуга BC)
3. Угол ATO + угол BTO = 2 * угол ACB

Суммируя выражения для углов ATO и BTO, получаем:

Угол ATO + угол BTO = 2 * угол ACB

Теперь обратим внимание на треугольник ATO:

4. Угол ATO + угол AOT + угол OAT = 180 градусов (сумма углов треугольника)

Заметим, что угол AOT равен углу BTO (так как это углы между радиусами и касательными к одной и той же дуге). Таким образом, мы можем переписать уравнение 4 следующим образом:

Угол ATO + угол BTO + угол OAT = 180 градусов

Подставляя значение углов ATO и BTO из пунктов 1 и 2:

2 * угол ACB + угол OAT = 180 градусов

Теперь выразим угол OAT:

угол OAT = 180 градусов - 2 * угол ACB

Угол AOB - это угол между радиусами AO и BO, а угол OAT - это угол между радиусами AO и OT. Отсюда следует:

Угол AOB = 180 градусов - угол OAT

Подставляя выражение для угла OAT:

Угол AOB = 180 градусов - (180 градусов - 2 * угол ACB) = 2 * угол ACB

Таким образом, мы доказали, что угол AOB равен удвоенному углу ACB:

Угол AOB = 2 * угол ACB

Исходя из этого, мы можем заключить, что угол AOB = 90 градусов - 1/2 * угол ACB, так как 2 * угол ACB = 180 градусов - угол ACB.