Question

Правильная треугольная пирамида рассечена на два многогранника плоскостью, проходящей через сторону основания и середину высоты пирамиды. Каким многоугольником является это сечение? Сделать чертеж.

Answer 1

Ответ:

Мы считаем, что

АE/EB = АF/FC= 1/2

Поэтому

АE/AB = АF/AC= 1/3

и, следовательно,

SΔΔAEF = 1/9SΔΔABC (1)

Пусть, далее, KMи SN -высоты пирамид KAEF и SABC. Легко видеть, что

KM/SN = АK/AS= 2/3

Поэтому KM = 2/3SN и, учитывая (1), мы получаем, что

VKAEF = 2/27VSABC

Искомое отношение равно 2/27.

Answer 2

Сечение, проходящее через сторону основания и середину высоты правильной треугольной пирамиды, будет являться правильным шестиугольником (шестиугольной призмой), где основание шестиугольника будет параллельно основанию пирамиды, а его боковые грани будут треугольниками, образованными в результате пересечения боковых граней пирамиды плоскостью.

Вот пример чертежа для более наглядного представления:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
    /     \
   /_______\
  B---------C

  |---------|
      Base

Здесь ABC - это основание правильной треугольной пирамиды, A - вершина пирамиды, а BC - одна из сторон треугольника. Сечение будет проходить через сторону BC и середину высоты A. Сечение будет выглядеть примерно так:

cssCopy code
      B---------C
      | \     / |
      |   \ /   |
      |    X    |
      |   / \   |
      | /     \ |
      A---------D

Здесь BCD - это сечение плоскостью, проходящей через сторону BC и середину высоты A. Многоугольник BCD является правильным шестиугольником.