Question

Треугольник ΔАВС- равнобедренный, с основанием АС. Через середину высоты BD проведена прямая МN, параллельная АВ. Точка М принадлежит АС, точка N принадлежит ВС. Найти площадь треугольника ΔCMN , если площадь треугольника ΔАВС равна 32 см2.

Answer 1

MN||AB, DK=KB => DM=MA (по теореме Фалеса)

BD - высота и медиана (ABC - равнобедренный), AD=DC

DM=x, DC=2x, AC=4x

MC/AC =3/4

MNC~ABC (по соответственным углам при MN||AB)

S(MNC)/S(ABC) =(MC/AC)^2 =9/16

S(MNC) =32*9/16 =18 (см^2)

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ΔABC и треугольник ΔCMN.

Известно, что треугольник ΔABC равнобедренный с основанием AC. Это значит, что высота BD будет перпендикулярной к основанию AC и проходящей через вершину B. Также, по определению равнобедренного треугольника, высота BD также является медианой (делит основание AC пополам).

Поскольку прямая MN проведена через середину высоты BD и параллельна AB, она будет делить треугольник ΔABC на два равных треугольника, ΔAMN и ΔBCN.

Теперь, давайте рассмотрим отношение площадей этих треугольников.

Площадь ΔAMN / Площадь ΔABC = (AN / AC)²

Поскольку MN делит BD (медиану) пополам, AN и NC также равны между собой. Таким образом, AN / AC = NC / AC = 1/2.

Теперь мы можем рассчитать отношение площадей:

Площадь ΔAMN / Площадь ΔABC = (1/2)² = 1/4

Теперь, если площадь треугольника ΔABC равна 32 квадратным сантиметрам, то площадь треугольника ΔAMN будет:

Площадь ΔAMN = (1/4) * 32 см² = 8 см²

Итак, площадь треугольника ΔCMN равна 8 квадратным сантиметрам.