Question

Составить уравнение плоскости проходящей через точки L(0,0,1) и N(3,0,0) и образующей угол в 60° с плоскостью (ху) Пожалуйста, объясните подробнее ​

Answer 1

Даны точки L(0,0,1) и N(3,0,0) и  угол в 60° с плоскостью (ху).

Плоский угол лежит в плоскости, перпендикулярной к линии пересечения. Это угол LPO.

ОР = 1/tg 60° = 1/√3.

NP = √(3² - (1/√3)²) = √(9 - (1/3) = √(26/3).

Из подобия треугольников находим:

NP/ON = OP/OT.

Получаем ОТ = 3/√26.

Теперь имеем 3 точки и по ним определяем уравнение плоскости.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3 y - 0 z - 0

0 - 3 0 - 0 1 - 0

0 - 3 0.588348405 - 0 0 - 0

 = 0

x - 3 y - 0 z - 0

-3 0 1

-3 0.588348405 0

 = 0

x - 3  0·0-1·0.588348405  -  y - 0  (-3)·0-1·(-3)  +  z - 0  (-3)·0.588348405-0·(-3)  = 0

(-0.588348405) x - 3  + (-3) y - 0  + (-1.765045215) z - 0  = 0

 - 0.588348405x - 3y - 1.765045215z + 1.765045215 = 0 .

Можно представить коэффициенты уравнения в радикалах.

(-3/√26)x - 3y - (9/√26)z + (9/√26) = 0.

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с тем, как найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет общий вид:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, а (x, y, z) - координаты точки, через которую проходит плоскость. Для нахождения уравнения плоскости нам нужно найти нормальный вектор и подставить координаты одной из заданных точек.

Первым шагом будет найти нормальный вектор плоскости, которая образует угол 60° с плоскостью xy (горизонтальной плоскостью). Нормальный вектор плоскости xy равен (0, 0, 1), так как плоскость xy располагается параллельно плоскости z=0.

Известно, что угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Так как у нас плоскость образует угол 60° с плоскостью xy, то угол между их нормальными векторами также будет 60°.

Теперь нам нужно найти нормальный вектор для нашей искомой плоскости. Мы знаем, что нормальный вектор N образует угол 60° с (0, 0, 1), и длина вектора N равна 1 (так как нормальные векторы плоскости обычно нормализуются для удобства).

Мы можем использовать сферические координаты, чтобы найти компоненты вектора N. Пусть φ - угол между вектором N и плоскостью xy, который равен 60°. Тогда компоненты вектора N могут быть записаны как:

N_x = sin(φ) * cos(θ), N_y = sin(φ) * sin(θ), N_z = cos(φ),

где θ - произвольный угол в плоскости xy, а φ = 60°.

Следовательно, нормальный вектор N будет:

N = (sin(60°) * cos(θ), sin(60°) * sin(θ), cos(60°)).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки L(0,0,1) и N(3,0,0) и имеющей нормальный вектор N, мы можем подставить координаты точки и нормального вектора в общее уравнение плоскости:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Подставляя координаты точки N(3,0,0), получаем:

3A + 0B + 0C + D = 0.

Так как нормальный вектор N = (sin(60°) * cos(θ), sin(60°) * sin(θ), cos(60°)), мы можем заменить A, B и C соответствующими компонентами вектора N:

3 * (sin(60°) * cos(θ)) + 0 * (sin(60°) * sin(θ)) + 0 * cos(60°) + D = 0.

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствует переменная θ. Мы можем выбрать любое значение для θ, так как оно представляет произвольный угол в плоскости xy.

Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид:

3 * (sin(60°) * cos(θ)) + D = 0.

Упростим выражение, используя значение синуса 60° (√3/2):

3/2 * cos(θ) + D = 0.

Теперь мы имеем уравнение плоскости, проходящей через точку N(3,0,0) и образующей угол 60° с плоскостью xy.