Question

Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°. С объяснением досконально и с рисунком Много баллов

Answer 1

Смотрите на рисунок ...

У сторон АВ и АС общая вершина - А, и через неё и проведём медиану АМ к стороне ВС ...

Будем искать:

АС/АВ = ?

ИЛИ

АВ/АС = ?

Итак ...

Что можно сказать про медиану?

Она делит треугольник на два треугольника, площади которых равны ...

Получаем :

1) Площадь треугольника АВМ = площадь треугольника АМС.

Рассмотрим треугольник ВМА.

Его площадь можно найти по вот такой формуле:

Площадь треугольника ВМА = ½*АВ*АМ*синус угла ВАМ

По условию угол ВАМ равен 30° ...

Площадь треугольника ВМА = ½*АВ*АМ*синус угла в 30°

Синус в 30° равен ½.

Получаем:

Площадь треугольника ВМА = ¼*АВ*АМ.

Теперь посмотрим на треугольник АМС.

Он прямоугольный... А площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. (В нашем случае АМ и АС - катеты).

Запишем вот так :

Площадь треугольника АМС = ½*АС*АМ..

ПО ВЫШЕ СКАЗАННОМУ В ПУНКТЕ 1 СЛЕДУЕТ, ЧТО :

½*АВ*АМ = ¼*АМ*АС

½*АВ = ¼*АС

АВ = ½*АС ...

Получаем :

АС/АВ = АС/(½*АС) = 1 : ½ = 2.

АВ/АС = (½*АС)/АС = ½.

(ЕСЛИ НЕВЕРНО, ПОЖАЛУЙСТА, ОТМЕТЬТЕ КАК НАРУШЕНИЕ!)

Answer 2

Давайте обозначим треугольник ABC, где A - вершина треугольника, а B и C - концы медианы. У нас есть следующая информация:

1. Угол BAC (между медианой и стороной AC) равен 30°.
2. Угол ABC (прямой угол между медианой и стороной BC) равен 90°.

Сначала нарисуем это:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
  B /_____\ C

Так как у нас есть угол между медианой и каждой из сторон треугольника, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник BAC:

cssCopy code
       A
      /|
     / |
  B /__| C

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон треугольника. Пусть AC - это гипотенуза прямоугольного треугольника BAC, AB - это одна из его катетов, а BC - другой катет.

Мы знаем, что угол BAC равен 30°. Следовательно, угол ABC также равен 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Теперь мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике BAC, которые связывают катеты и гипотенузу в соответствии с тригонометрией. В данном случае, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса:

$\tan(30°) = \frac{AB}{BC}$

Так как $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{BC}$

Теперь можем решить это уравнение относительно $\frac{AB}{BC}$:

$AB = \frac{BC}{\sqrt{3}}$

Это означает, что отношение сторон треугольника AB к BC равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Итак, отношение двух сторон треугольника AB к BC равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$, что можно приблизительно округлить до 0.577 (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$).

Пожалуйста, обратите внимание, что рисунок здесь нельзя визуализировать напрямую, но я старался объяснить каждый шаг подробно.