Question

У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат таким чином, що дві його вершини лежать на гіпотензі , а дві інші вершини лежать на катетах , сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайти гіпотенузу трикутника

Answer 1

Ответ:

15 см

Объяснение:

остальное в вложении

Answer 2

Позначимо гіпотенузу трикутника як $c$, а катети як $a$ та $b$. За умовою задачі, дві вершини квадрата лежать на гіпотензі ($c$), а інші дві вершини - на катетах ($a$ та $b$).

Знаючи, що сторона квадрата дорівнює 5 см, ми можемо записати, що $a + b = 5$.

Також, ми можемо врахувати, що діагональ квадрата (сторона квадрата, помножена на $\sqrt{2}$) дорівнює гіпотенузі трикутника ($c$): $c = 5\sqrt{2}$.

За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників: $c^2 = a^2 + b^2$.

Ми знаємо, що $a + b = 5$, отже, можемо підставити це значення у вираз для $c^2$:

$$(5\sqrt{2})^2 = a^2 + b^2$$

$$50 = a^2 + b^2$$

Тепер ми маємо систему рівнянь:

$$\begin{align*} a + b &= 5 \\ a^2 + b^2 &= 50 \end{align*}$$

З рівняння $a + b = 5$ можна виразити одну зі змінних, наприклад $a$, як $a = 5 - b$. Підставимо це значення у друге рівняння:

$$(5 - b)^2 + b^2 = 50$$

$$25 - 10b + b^2 + b^2 = 50$$

$$2b^2 - 10b - 25 = 0$$

Поділимо обидва боки на 2 для спрощення:

$$b^2 - 5b - 12.5 = 0$$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або факторизації. Розв'язавши його, ми отримаємо два можливих значення для $b$, і відповідно, за $a = 5 - b$, два можливих значення для $a$. Однак, ми бачимо, що з теореми Піфагора $c^2 = a^2 + b^2$, тобто гіпотенуза трикутника має бути коренем цього квадратного рівняння.

Обираємо позитивний корінь, оскільки довжина не може бути від'ємною:

$$c^2 = 50$$

$$c = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює $5\sqrt{2}$ см.