Question

Доведіть , що два рівнобедренних трикутника рівні , якщо відповідно рівні їх бічні сторони і висоти , проведені до основ

Answer 1

Ответ: ч.т.д.

Объяснение: 1) обозначим первый равнобедренный треугольник буквами АВС.

Второй равнобедренный треугольник обозначим буквами MKL.

AC и ML - основания △АВС и △MKL соответственно.

MK = KL = AB = BC, по условию.

Проведём высоту ВD в △АВС к основанию АС и высоту KF в △МКL к основанию ML.

BD = ML, по условию.

Так как BD и KF - высоты △АВС и △MKL соответственно ⇒ △BDA, △BDC, △KFM, △KFL - прямоугольные.

Рассмотрим △BDA, △BDC, △KFM, △KFL:

1) Рассмотрим △BDA и △BDC:

AB = BC, по условию.

BD - общая.

⇒ △BDA = △BDC, по гипотенузе и катету.

2) Рассмотрим △KFM и △KFL:

MK = KL, по условию.

KF - общая.

⇒ △KFM = △KFL, по гипотенузе и катету.

Но так как АВ = ВС = MK = KL и BD = KF, по условию ⇒ △BDA = △BDC = △KFM = △KFL, по катету и гипотенузе.(AB = BC = MK = KL, по условию; BD = KF, по условию)

А так как △BDA = △BDC = △KFM = △KFL ⇒ △ABC = △MKL (MK = AB, по условию; KL = BC, по условию; AC = МL, так как △BDA = △BDC = △KFM = △KFL).

(Также равенство треугольников АВС и KML можно доказать по всем признакам равенства треугольников, исходя из того, что △BDA = △BDC = △KFM = △KFL)

ч.т.д.

Answer 2

Позначимо два рівнобедренні трикутники як ABC і A'B'C', де AB = AC і A'B' = A'C'. Нехай h і h' - висоти, опущені з вершин A і A' відповідно, і p - половина довжини основи BC.

Ми хочемо довести, що трикутники ABC і A'B'C' рівні, тобто їхні сторони та кути будуть взаємно відповідати.

За умовою, маємо AB = AC і A'B' = A'C'. Також маємо h = h', оскільки висоти однакові.

Оскільки ABC і A'B'C' - рівнобедренні трикутники, ми також знаємо, що кути при основі BC і B'C' є однаковими, позначимо цей кут як α.

Знайшовши всі ці співвідношення, ми можемо застосувати наступну рівність для площі трикутника: S = 0.5 * a * b * sin(γ), де a і b - довжини сторін, а γ - між ними лежачий кут.

Розглянемо площі трикутників ABC і A'B'C'. Оскільки AB = A'B' (по умові), h = h' (по умові) і α = α (оскільки це кути при однакових сторонах), площі цих трикутників будуть рівні:

S(ABC) = 0.5 * AB * h * sin(α) S(A'B'C') = 0.5 * A'B' * h' * sin(α)

Оскільки AB = A'B' і h = h', ми отримаємо:

S(ABC) = S(A'B'C')

Отже, площі рівнобедрених трикутників ABC і A'B'C' рівні. Оскільки площа трикутника визначається довжинами його сторін і синусом кута між ними, ми можемо зробити висновок, що вони мають однакові сторони та кути.

Це означає, що трикутники ABC і A'B'C' рівні за всіма параметрами, і ми довели, що два рівнобедренні трикутники рівні, якщо відповідно рівні їх бічні сторони і висоти, проведені до основ.