Question

Образующая конуса равна 4 см. Осевым сечением служит правильный треугольник. Найдите площадь осевого сечения.

Answer 1

Ответ:

4√3 см²

Объяснение:

Каждая сторона сечения по условию равна 4 см. Найдем площадь по формуле Герона

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(6*2*2*2)=√48=4√3 см²

Answer 2

Площадь осевого сечения конуса зависит от формы сечения. Если оно является правильным треугольником, то можно воспользоваться геометрическими свойствами.

Давайте обозначим сторону правильного треугольника в осевом сечении как $a$. Так как это правильный треугольник, все стороны равны между собой. Рассмотрим высоту треугольника, которая также является высотой конуса. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания $a/2$, высотой $h$ и радиусом конуса $r = 4/2 = 2$ (половина образующей):

$(a/2)^2 + h^2 = r^2$ $(a/2)^2 + h^2 = 2^2$ $\frac{a^2}{4} + h^2 = 4$ $a^2 + 4h^2 = 16$

Теперь, площадь осевого сечения (площадь правильного треугольника) можно найти как $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$, где $\sqrt{3}/4$ - это площадь правильного треугольника относительно его стороны $a$.

Используя уравнение $a^2 + 4h^2 = 16$, мы можем выразить $a^2$ как $a^2 = 16 - 4h^2$, и подставить это значение в формулу площади:

Площадь осевого сечения $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16 - 4h^2) = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}h^2$.

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения, нам нужно выразить $h$ через радиус $r$ (половину образующей). Мы можем использовать тот же прямоугольный треугольник и теорему Пифагора:

$(a/2)^2 + h^2 = r^2$ $\frac{a^2}{4} + h^2 = r^2$ $h^2 = r^2 - \frac{a^2}{4}$ $h^2 = 4^2 - \frac{4^2}{4}$ $h^2 = 16 - 4$ $h^2 = 12$ $h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Теперь подставляем значение $h$ в уравнение для площади осевого сечения:

$S = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}(2\sqrt{3})^2 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 12 = 4\sqrt{3} - 36\sqrt{3} = -32\sqrt{3}$