Question

1)окружность касается основания АС равнобедренного треугольника АBC в его середине, проходит через вершину B и пересекает боковые стороны в точках M и N. докажите, что MN и AC параллельны. 2) Окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений двух его катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру треугольника

Answer 1

Ответ:

===============================

Объяснение:

Answer 2

Объяснение:см. во вложении

Answer 3

1. Докажем, что треугольник AMN подобен треугольнику ABC.

Поскольку окружность касается основания АС в его середине, то точка касания является точкой пересечения медиан треугольника ABC. В треугольнике ABC точка касания является центром окружности вписанной в треугольник.

Так как окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, то точка касания является центром вписанной окружности в этот треугольник.

Из этих двух фактов следует, что треугольники ABC и AMN подобны. Это происходит потому, что у них соответствующие углы равны (по свойству вписанного угла) и соответствующие стороны пропорциональны (по свойству касательной).

Из подобия треугольников ABC и AMN следует, что у них соответствующие стороны параллельны. Таким образом, MN параллельна AC.

2. Пусть окружность с центром O касается гипотенузы треугольника ABC в точке D и продолжений катетов в точках E и F. Пусть AD = x, AE = y и AF = z.

Так как окружность касается гипотенузы и продолжений катетов, то точка D является центром вписанной окружности в треугольник AEF. Также, поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы знаем, что AC = AB + BC.

Из свойств касательных следует, что AD = AE и AD = AF, поэтому x = y = z.

Теперь рассмотрим периметр треугольника ABC. Он равен AB + BC + AC.

AB + BC + AC = x + x + (x + y + z) = 3x + (x + x) = 5x.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 5x.

С другой стороны, диаметр окружности с центром O равен 2x.

Так как x = y = z, то 2x = 5x.

Следовательно, диаметр окружности равен периметру треугольника ABC.