Question

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана такая точка M, что описанные окружности треугольников ABM и CDM касаются. Известно, что ∠ABM=40∘, ∠DAM=21∘, ∠ADM=60∘. Чему равен угол DCM?

Answer 1

Ответ:

2*40+2*21+2*60=242

360-242=118

118/2=59

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABM и описанную окружность, касающуюся стороны AB треугольника ABM. Пусть точка касания окружности с стороной AB обозначается как P.

Так как окружность, описанная вокруг треугольника ABM, касается стороны AB, то угол BPM является половинным углом ∠ABM. Так как ∠ABM = 40∘, то ∠BPM = 20∘.

Аналогично рассмотрим треугольник CDM и описанную окружность, касающуюся стороны CD треугольника CDM. Пусть точка касания окружности с стороной CD обозначается как Q.

Так как окружность, описанная вокруг треугольника CDM, касается стороны CD, то угол DQM является половинным углом ∠CDM. Так как ∠CDM = 60∘, то ∠DQM = 30∘.

Теперь рассмотрим четырехугольник MPQD, в котором точки P и Q - это точки касания описанных окружностей с соответствующими сторонами.

Поскольку четырехугольник ABCD выпуклый, сумма углов M и Q равна 360∘. Таким образом, угол DCM равен сумме углов DQM и MQC.

Угол DQM равен 30∘ (как было показано выше).

Угол MQC - это внешний угол треугольника MPQ, поэтому он равен сумме углов M и Q. Угол M равен 40∘, а угол Q равен 180∘ - ∠DQM = 180∘ - 30∘ = 150∘.

Таким образом, угол MQC равен 40∘ + 150∘ = 190∘.

Итак, угол DCM равен сумме углов DQM и MQC, то есть 30∘ + 190∘ = 220∘.

Таким образом, угол DCM равен 220∘.