Question

Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см. Медіана, проведена до цього катета дорівнює 5 см. Знайдіть: довжину іншого катета, периметр і площу трикутника.

Answer 1

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6 см. Медиана, проведённая до этого катета, равна 5 см. Найти : длину другого катета, периметр и площадь треугольника.

— — —

Дано :

∆АВС — прямоугольный (<А = 90°).

АС = 6 см.

ВМ — медиана, ВМ = 5 см.

Найти :

АВ = ?

Р(∆АВС) = ?

S(∆ABC) = ?

Решение :

АМ = МС = 0,5*АС (по определению медианы треугольника)

АМ = 0,5*АС = 0,5*6 см = 3 см.

Рассмотрим ∆АВМ — прямоугольный.

По теореме Пифагора —

АМ² + АВ² = ВМ²

АВ² = ВМ² - АМ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

АВ = √16 = 4 см.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следовательно —

S(∆ABC) = 0,5*AB*AC = 0,5*4 см*6 см = 12 см².

По теореме Пифагора находим гипотенузу ВС ∆АВС —

АВ² + АС² = ВС²

4² + 6² = ВС²

ВС² = 16 + 36 = 52

ВС = √52 см.

• Периметр — это сумма длин всех сторон.

Отсюда —

Р(∆АВС) = ВС + АВ + АС = √52 + 4 + 6 = 10 + √52 см.

Ответ :

4 см, 10 + √52 см, 12 см².

Answer 2

Нехай ми маємо прямокутний трикутник ABC, де AB = 6 см - один з катетів і AM = 5 см - медіана, проведена до катета AB. Тут M - середина гіпотенузи BC.

Згідно властивості медіани прямокутного трикутника, медіана, проведена до гіпотенузи, ділить її на дві рівні частини. Тобто, BM = MC = 2.5 см.

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для знайдення іншого катета:

AB^2 + AC^2 = BC^2,

де AC - інший катет.

Підставляючи відомі значення:

6^2 + AC^2 = BC^2, 36 + AC^2 = BC^2.

Також ми можемо застосувати властивість медіани до трикутника AMC:

AC^2 + 2.5^2 = 5^2, AC^2 + 6.25 = 25, AC^2 = 18.75.

Тепер підставимо значення AC^2 у рівняння для BC^2:

36 + 18.75 = BC^2, 54.75 = BC^2, BC = √54.75 ≈ 7.41 см.

Отже, інший катет (AC) має довжину приблизно 7.41 см.

Далі, можемо знайти гіпотенузу (BC) і всі інші сторони трикутника:

BC = 7.41 см, AB = 6 см, AC = √18.75 ≈ 4.33 см.

Периметр трикутника ABC дорівнює сумі всіх трьох сторін:

Периметр = AB + AC + BC ≈ 6 + 4.33 + 7.41 ≈ 17.74 см.

Нарешті, площа прямокутного трикутника може бути знайдена за формулою:

Площа = (перший катет * другий катет) / 2 = (6 * 4.33) / 2 ≈ 13.0 кв. см.