Question

Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон этого треугольника​

Answer 1

Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Пусть стороны треугольника а, b, с. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника).


тогда,


тогда,


тогда,


Так что любая сторона больше разности двух его сторон. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника.

Пусть a, b и c - стороны треугольника, причем без ограничения общности предположим, что a ≥ b ≥ c.

Неравенство треугольника утверждает, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны:

a + b > c a + c > b b + c > a

Мы хотим доказать, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Для этого рассмотрим каждую сторону отдельно.

1. a > b - c: Для этого нам достаточно заметить, что a = b - c + c, и так как b - c и c являются положительными числами, то a больше их суммы.

2. b > a - c: Аналогично, мы можем записать b = a - c + c, и так как a - c и c являются положительными числами, то b больше их суммы.

3. a > c - b: Мы можем записать a = c - b + b, и так как c - b и b являются положительными числами, то a больше их суммы.

Таким образом, мы показали, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон этого треугольника:

a > b - c b > a - c c > a - b

Так как мы предположили, что a ≥ b ≥ c, то мы можем заключить, что a > b - c, b > a - c и c > a - b выполняются для любых сторон треугольника.