Question

Бокал имеет форму конуса. В него налита вода на высоту 2. Если в бокал долить воды объёмом, равным ¼ объёма налитой воды. На какой высоте окажется вода.

Answer 1

Ответ:

Высота заполненного конуса относится к высоте всего конуса в соотношении . Значит, объем конуса с жидкостью находится в пропорции с объемом всего конуса как . Объем с жидкостью составляет 16 мл, значит весь объем конуса равен

мл.

Таким образом, долить нужно

432-16=416 мл.

Ответ: 416.

Answer 2

Когда вода налита в бокал, она займет форму конуса. Обозначим радиус верхней поверхности конуса как $r_1$, а радиус нижней поверхности конуса (основания) как $r_2$. Также обозначим высоту конуса как $h$, высоту налитой воды как $h_1$ и высоту, на которую мы хотим долить воды, как $h_2$.

Известно, что вода налита на высоту 2, то есть $h_1 = 2$. Мы хотим долить 1/4 объёма налитой воды, поэтому новый объем воды будет равен $V_2 = V_1 + \frac{1}{4} V_1 = \frac{5}{4} V_1$.

Объем конуса можно выразить через его радиус верхней поверхности и высоту:

$V = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h.$

Так как конусы подобны, отношение объемов двух конусов равно квадрату отношения их радиусов:

$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_{2_2}}{r_{1_2}}\right)^2.$

Подставляя $V_2 = \frac{5}{4} V_1$ и $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_{1_1}^2 h_1$ (так как $h_1 = 2$), получим:

$\frac{5}{4} = \left(\frac{r_{2_2}}{r_{1_2}}\right)^2.$

Отсюда:

$\frac{r_{2_2}}{r_{1_2}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$

Так как верхний радиус $r_1$ остаётся неизменным, а мы хотим найти высоту $h_2$, то можем использовать подобие треугольников:

$\frac{h_2}{h_1} = \frac{r_{2_2}}{r_{1_2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$

Подставляя значение $h_1 = 2$, получаем:

$h_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.$

Таким образом, после долива воды на объём, равный 1/4 объёма начальной воды, уровень воды окажется на высоте $\sqrt{5}$.