Question

діагональ осьового перерізу циліндра має довжину 10 см, а кут між його діагоналями 60 градусів. Знайти обєм циліндра

Answer 1

Ответ:

V=312√3π(см³)

Объяснение:

осевым сечением цилиндра является прямоугольник. Обозначим его вершины А В С Д ч диагоналями АС и ВД, точку их пересечения К, а высоту ОО1. Объем цилиндра вычисляется по формуле: V=Sосн×ОО1, где основанием является окружность. Диагонали сечения пересекаясь делятся пополам поэтому АК=КС=ВК=ВД=10÷2=5см

Рассмотрим полученный ∆АКД. Он равнобедренный и <А=<Д=(180–60)÷2=120÷2=60°

Итак: ∆АКД- равносторонний, поскольку все его углы равны, и каждый составляет 60°, поэтому АК=КД=АД=5см.

Вычислим площадь сечения АВСД по формуле:

S=сеч½×AC²×sin60°=½×10²×√3/2=½×100×√3/2=

=25√3см²

Sсеч=25√3см²

Зная площадь сечения найдём высоту ОО1:

ОО1=Sсеч÷АД=25√3÷5=5√3см; ОО1=5√3см

Радиус АО1=О1Д=АД÷2=5÷2=2,5 см

Sосн=πr²=π×(2,5)²=6,25π

Теперь найдём объем цилиндра зная его площадь основания и высоту:

V=Sосн×ОО1=6,25π×5√3=312√3π(см³)

Answer 2

Для знаходження об'єму циліндра потрібно знати його висоту та радіус. Оскільки ми маємо діагональ осьового перерізу та кут між діагоналями, ми можемо використовувати геометричні властивості циліндра.

Позначимо діагоналі перерізу як D1 та D2. Оскільки циліндр має круговий осьовий переріз, діагоналі будуть перпендикулярними та перетинаються в центрі кола. Оскільки кут між діагоналями дорівнює 60 градусів, ми можемо вважати їх за сторони рівностороннього трикутника, що утворюється цими діагоналями та півдіаметром кола.

За теоремою косинусів в рівносторонньому трикутнику:

D1^2 = D2^2 + (2r)^2 - 2 * D2 * 2r * cos(60°) D1^2 = D2^2 + 4r^2 - 2 * D2 * 2r * 0.5 D1^2 = D2^2 + 4r^2 - 2 * D2 * r D1^2 - D2^2 = 4r^2 - 2 * D2 * r r = (D1^2 - D2^2) / (4 - 2 * D2)

Відомо, що D1 = 10 см, D2 = r * √3 (за властивостями рівностороннього трикутника), тоді:

r = (10^2 - (r * √3)^2) / (4 - 2 * r * √3) r = (100 - 3r^2) / (4 - 2 * r * √3) 4r - 2 * r^2 * √3 = 100 - 3r^2 2 * r^2 * √3 + 3r^2 = 4r - 100 r^2 * (2 * √3 + 3) = 4r - 100 r^2 = (4r - 100) / (2 * √3 + 3) r = sqrt((4r - 100) / (2 * √3 + 3))

Тепер ми можемо знайти висоту циліндра. Оскільки діагональ перерізу циліндра є гіпотенузою правильного трикутника, а одна з його катетів є піввисоти циліндра, виразимо висоту через радіус:

h = r * √3

Знаючи радіус і висоту, ми можемо знайти об'єм циліндра:

V = π * r^2 * h V = π * (sqrt((4r - 100) / (2 * √3 + 3)))^2 * (r * √3)

Даний вираз можна обчислити числово, підставивши значення радіуса r.