Question

100 баллов На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соотвественно. Точки B, C, E, D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности описанной около треугольника ADC если известно что угол CDE = угол BAC и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 1

Answer 1

Ответ:

1...........................................

Объяснение:

Answer 2

Обозначим радиус описанной окружности треугольника ADC как R. Также дано, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 1.

Поскольку точки B, C, E и D лежат на одной окружности, угол CBE тоже равен углу CAD (угол BAC), так как это подвешенные к одной дуге углы.

Из условия дано, что угол CDE равен углу BAC. Это означает, что треугольники CDE и CAB подобны. Таким образом, отношение сторон в этих треугольниках одинаково:

$\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB}$.

Также известно, что точки D и E лежат на окружности с радиусом R, и это означает, что

$CD = 2R \sin(CDE)$ и $CE = 2R \sin(BAC)$.

Подставляя это в отношение сторон подобных треугольников, получаем:

$\frac{2R \sin(CDE)}{CA} = \frac{2R \sin(BAC)}{CB}$.

Разделим обе стороны на 2R:

$\frac{\sin(CDE)}{CA} = \frac{\sin(BAC)}{CB}$.

Так как угол CDE равен углу BAC, то $\sin(CDE) = \sin(BAC)$. Теперь у нас есть:

$\frac{\sin(BAC)}{CA} = \frac{\sin(BAC)}{CB}$.

Отсюда следует, что $CA = CB$.

Это означает, что треугольник ABC - равнобедренный треугольник со сторонами AB = AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас есть два равных угла: угол BAD и угол BDA. Это делает треугольник ABD равнобедренным, и стороны AB и BD также равны.

Теперь мы знаем, что AB = AC и AB = BD. Это означает, что треугольник ABC равносторонний.

Равносторонний треугольник описывается окружностью радиуса, который равен половине длины одной из сторон. Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен $1$.

Следовательно, $AB = AC = BD = 2R = 1$, откуда $R = \frac{1}{2}$.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ADC, также равен $\frac{1}{2}$.