Question

У прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 1:2. Більший катет дорівнює 4 корінь з 3 см. Знайти площу круга, описаного навколо даного трикутника

Answer 1

Ответ:

Sокр.=16π=50,24 см²

Объяснение: обозначим вершины треугольника А В С с прямым углом С катетами АС и ВС и гипотенузой АВ, центр окружности О, а соотношение 1:2 как х и 2х и так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, составим уравнение:

х+2х=90

3х=90

х=90÷3=30°.

Итак: меньший острый угол А=30°, тогда второй острый угол В=2×30=60°

Большая сторона лежит напротив большего угла и меньшая сторона лежит напротив меньшего угла, поэтому больший катет АС, имеющий величину 4√3, лежит напротив угла 60°, а меньший катет ВС, будет располагаться напротив угла 30°и будет равен половине гипотенузы ( свойство угла 30°). Пусть меньший катет=у, тогда гипотенуза АВ=2у. Зная величину большего катета, составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²–ВС²=АС ²

(2у)²–у²=(4√3)²

4у²–у²=16×3

3у²=48

у²=48÷3=16

у=√16=4

Итак: меньший катет ВС=4см, тогда гипотенуза АВ=2×4=8см

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности располагается в середине гипотенузы, поэтому радиус окружности ОА=ОВ=8÷2=4см

Площадь окружности вычисляется по формуле: πr²=π×4²=π×16=16π(см²); или 16×3,14=50,24(см²)

Answer 2

а – больший катет

b – меньший катет

с – гипотенуза

Решение:

1) Найдем градусные меры углов треугольника:

х+2х+90=180

3х=90

х=30° – градусная мера одного острого угла.

2×30°=60° – градусная мера второго острого угла.

90° – градусная мера третьего угла (т.к. треугольник - прямоугольный).

2) Найдём длину меньшего катета треугольника:

tgx=a/b

b=4√3/√3=4см

3) Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

с²=а²+b²=(4√3)²+4²=64

c=8см

4) Найдём радиус круга, описанного около данного треугольника:

R=c/2=8/2=4см

5) Найдём площадь круга:

S=пr²=3,14×4²=50,24см²

Ответ: S=50,24см²

Answer 3

Спочатку давайте позначимо величини кутів у трикутнику. Нехай перший гострий кут буде x градусів, а другий гострий кут буде 2x градусів. Разом з прямим кутом вони утворюють суму 90 градусів, оскільки мова йде про прямокутний трикутник.

Далі, даний трикутник має один катет довжиною 4√3 см. Нехай другий катет буде b см, а гіпотенуза - c см.

Використовуючи властивості трикутників і функцій тригонометрії, можемо записати:

sin(x) = b / c, cos(x) = 4√3 / c.

Знаючи, що sin(x) = cos(90 - x), можемо підставити значення косинуса виразу для синуса:

b / c = 4√3 / c.

Звідси маємо b = 4√3. Тепер ми знаємо довжини обох катетів.

Для знаходження гіпотенузи c можемо використати теорему Піфагора:

c² = a² + b², c² = (4√3)² + (4√3)², c² = 48 + 48, c² = 96, c = √96, c = 4√6 см.

Тепер ми знаємо довжини всіх сторін трикутника.

Далі, радіус описаного кола трикутника дорівнює половині гіпотенузи:

Радіус R = c / 2 = (4√6) / 2 = 2√6 см.

Площа кола обчислюється за формулою S = πR²:

S = π(2√6)² = 4π(6) = 24π квадратних см.

Отже, площа круга, описаного навколо даного трикутника, дорівнює 24π квадратних см.