Question

З точки А до кола проведено дві дотичні, В i C – точки дотику .Знайдіть довжини відрізків АВ і AC дотичних, якщо їх сума дорівнює 16 см.

Answer 1

Відповідь:

АВ=ВС=8см

Пояснення:

АВ=ВС, тому

АВ=16:2=8(СМ)

Answer 2

Нехай довжина відрізка АВ дорівнює "x" см, а довжина відрізка АС дорівнює "y" см.

За умовою, сума довжин дотичних дорівнює 16 см: x + y = 16

Також відомо, що коло є ортогональне до своїх дотичних у точках дотику. Це означає, що кожна дотична утворює прямий кут з радіусом, що відповідає точці дотику.

Позначимо радіус кола як "r". Тоді, за властивостями дотичних, утворюється прямокутний трикутник:

AV = AC = r (адже обидві дотичні є радіусами кола).

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника: (AB)^2 + (BV)^2 = (AV)^2 (AC)^2 + (CV)^2 = (AV)^2

Оскільки (AB)^2 = (AC)^2, а також (BV)^2 = (CV)^2 (бо В і C - точки дотику на колі), то ми маємо: (AB)^2 = (AC)^2

Зведемо рівняння до квадратів та підставимо AV = AC = r: x^2 + (r - x)^2 = r^2 y^2 + (r - y)^2 = r^2

Розкривши квадрати і спростивши рівняння, отримаємо: x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = r^2 y^2 + r^2 - 2ry + y^2 = r^2

Зводячи подібні терміни, отримаємо: 2x^2 - 2rx = 0 2y^2 - 2ry = 0

Виділимо спільний множник: 2x(x - r) = 0 2y(y - r) = 0

З цього випливає, що x = 0 (не можливо, оскільки довжина не може бути від'ємною) або x - r = 0, тобто x = r. Так само, y = 0 або y = r.

Отже, x = r і y = r.

Підставивши це у рівняння x + y = 16: r + r = 16 2r = 16 r = 8

Отже, довжина відрізків АВ і АС дорівнює 8 см кожен.