Question

В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка F так, что AF : FB = 3 : 2. В каком отношении прямая CF делит диагональ BD?

Answer 1

В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка F так, что AF : FB = 3 : 2. В каком отношении прямая CF делит диагональ BD?

Объяснение:

Пусть ВD пересекается с СF  в точке К .Проведем диагональ АС. Диагонали точкой пересечения О разделятся пополам : АО=ОС.

По т. Менелая для ΔАВО   $\frac{BK}{KO} *\frac{CO}{CA} *\frac{AF}{FB} =1$  или учитывая , что АС=2СО ,

$\frac{BK}{KO} *\frac{1}{2} *\frac{3}{2} =1$  ,  $\frac{BK}{KO} =\frac{4}{3}$ . Значит на половину диагонали ВD приходится 7 частей ⇒ на всю ВD приходится 14 частей.. Тогда на отрезок КD=14-4=10 частей.

$\frac{BK}{KD} =\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

Answer 2

Пусть точка пересечения прямых CF и BD обозначается как E.

Так как AF : FB = 3 : 2, то мы можем представить отрезки AF и FB как 3x и 2x соответственно, где x - некоторая положительная константа.

Также из параллелограмма известно, что диагонали BD и AC делят друг друга пополам. Это означает, что точка E, являющаяся точкой пересечения диагоналей, делит диагональ BD в соотношении 1:1.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник CEF. В этом треугольнике прямая CE является медианой (половиной диагонали) треугольника ACF (по свойству медианы параллелограмма), а также прямая CF является медианой треугольника AFB.

Таким образом, отношение, в котором прямая CF делит диагональ BD, будет аналогичным отношению, в котором она делит диагональ AC, то есть 1:1.

Итак, прямая CF делит диагональ BD в отношении 1:1.