Question

Помогите, пожалуйста, решить. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F - середина ребра DD1, точка K лежит на ребре AD так, что AK:KD = 1:3. Найдите расстояние между прямыми BF и A1K, если AB=3, AD=4, AA1=2. (Как это, блин, расстояние отметить на рисунке? Не могу понять)​

Answer 1

Пусть А - начало координат.

Ось Х - АВ

Ось У - АD

Ось Z - AA1

Координаты точек

F ( 0;4;1)

K(0;1;0)

B(3;0;0)

A1(0;0;2)

Вектора

А1В(3;0;-2)

ВF(-3;4;1)

A1K(0;1;-2)

| BF ; A1K | = | A1B * BFxA1K | / | BFxA1K | = | 3*4*(-2) + 1* (-3)*(-2) - 3"1*1 | / √ ((4*(-2)-1*1)^2+((-3)*(-2))^2+((-3)*1))^2) = 21 / √126 = √14 / 2

Когда решаете векторным методом - можно не думать   где на рисунке это расстояние. Где то в пространстве )) да и рисунок не нужен ))

Answer 2

Для начала, давайте попробуем разобраться в геометрической ситуации. У вас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1, и вам нужно найти расстояние между прямыми BF и A1K. Для этого давайте выполним несколько шагов.

1. Найдем координаты точек: Пусть начало координат будет в точке A. Тогда координаты точек:

   • A(0, 0, 0)
   • B(3, 0, 0)
   • C(3, 4, 0)
   • D(0, 4, 0)
   • A1(0, 0, 2)
   • B1(3, 0, 2)
   • C1(3, 4, 2)
   • D1(0, 4, 2)

2. Найдем координаты точек F и K: Так как F - середина ребра DD1, то его координаты будут средними координатами D и D1:

   • F(0, 4, 1)

   Так как K делит отрезок AD в отношении 1:3, его координаты будут:

   • K(0, 1, 0)

3. Найдем векторы направления прямых: Вектор направления прямой BF будет разностью координат точек B и F:

   • Вектор BF = B - F = (3, 0, 0) - (0, 4, 1) = (3, -4, -1)

   Вектор направления прямой A1K будет разностью координат точек K и A1:

   • Вектор A1K = K - A1 = (0, 1, 0) - (0, 0, 2) = (0, 1, -2)

4. Найдем расстояние между параллельными прямыми: Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти по формуле: d = |(V1 × V2)| / |V2| где V1 и V2 - векторы направления прямых, × обозначает векторное произведение, |V| обозначает длину вектора.

   Длина вектора V2 (вектор направления прямой A1K) равна √(0^2 + 1^2 + (-2)^2) = √5.

   Векторное произведение V1 × V2 по модулю равно √((-4)² * (-2)² + (-1)² * 3² + 3² * 1²) = √(16 + 9 + 9) = √34.

   Итак, расстояние между прямыми BF и A1K: d = √34 / √5 = √(34/5) = √6.8 (приближенно).

Таким образом, расстояние между прямыми BF и A1K составляет примерно 2.60 (до двух знаков после запятой).