Question

Знайдіть катети прямокутного трикутника, площа якого дорівнює 24 корені з 3, а бісектриса прямого кута утворює з гіпотенузою кут 75° ​

Answer 1

В треугольнике, где угол 75°, второй равен половине прямого, то есть 45°, третий равен 180 - 75 - 45 = 60°.

Это один из острых углов прямоугольного треугольника.

Второй острый равен 90 - 60 = 30°.

Пусть катет против угла 30° градусов равен x, тогда катет против угла 60° равен x√3 (по тангенсу).

Площадь S = (1/2)x*x√3 = x^2*√3/2.

Приравняем её заданному значению.

x^2*√3/2 = 24*√3,

x^2 = 48,

x = √48 = 4√3. Это величина одного из катетов.

Второй равен 4√3*√3 = 12.

Гипотенуза равна √(4√3)^2 + 12^2) = √(48 + 144) = √192 = 8√3,

Ответ: стороны равны 4√3, 12, 8√3.

Answer 2

Позначимо катети прямокутного трикутника як $a$ і $b$, а гіпотенузу як $c$. Також позначимо бісектрису прямого кута як $d$.

За формулою площі прямокутного трикутника: $S = \frac{1}{2}ab$ Ми знаємо, що $S = 24 \sqrt{3}$. Підставимо це значення:

$24 \sqrt{3} = \frac{1}{2}ab$ $ab = 48 \sqrt{3}$

Ми також знаємо, що бісектриса прямого кута утворює з гіпотенузою кут 75°. З цього випливає, що протилежний гострий кут прямокутного трикутника дорівнює $75° / 2 = 37.5°$. Також ми знаємо, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°, отже, гострий кут трикутника буде $90° - 37.5° = 52.5°$.

Ми використовуємо тригонометричні співвідношення, зокрема тангенс, щоб знайти співвідношення між катетами та гіпотенузою:

$\tan(52.5°) = \frac{a}{b} \quad \text{(оскільки } a \text{ - прилеглий катет, } b \text{ - протилежний катет)}$

Також, оскільки бісектриса розділяє прямий кут навпіл, вона розділяє прямокутний трикутник на два трикутники, кожен з яких також є прямокутним, та має протилежний гострий кут 37.5°. Таким чином, ми можемо використовувати таке співвідношення:

$\tan(37.5°) = \frac{a}{d} \quad \text{(оскільки } a \text{ - прилеглий катет, } d \text{ - бісектриса)}$

Ми також знаємо, що бісектриса є гіпотенузою у другому прямокутному трикутнику, в якому один з гострих кутів дорівнює 37.5°.

За теоремою синусів для першого прямокутного трикутника маємо: $\frac{a}{c} = \sin(52.5°)$

За теоремою синусів для другого прямокутного трикутника маємо: $\frac{a}{d} = \sin(37.5°)$

Ми знаємо, що $\sin(52.5°) = \cos(37.5°)$, тому ми можемо записати співвідношення між $c$ та $d$:

$\frac{c}{d} = \cos(37.5°)$

Окремо виразимо $a$ з першого співвідношення та $d$ з другого співвідношення: $a = c \cdot \sin(52.5°)$ $d = \frac{a}{\sin(37.5°)}$

Підставимо значення $a$ з першого виразу у другий вираз:

$d = \frac{c \cdot \sin(52.5°)}{\sin(37.5°)}$

Ми також маємо зв'язок між площею трикутника та його катетами: $ab = 48 \sqrt{3}$

Підставимо значення $a$ з першого виразу та $b$ з останнього виразу:

$c \cdot \sin(52.5°) \cdot b = 48 \sqrt{3}$

Залишається лише розв'язати це рівняння відносно $c$ і $b$, використовуючи теорему синусів та теорему косинусів. Оскільки це обчислювальний процес, я вам раджу скористатися калькулятором або математичним програмним забезпеченням для отримання точних числових значень катетів.