Question

В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окруж- ность с центром в точке 0. Площадь треугольника АОВ отно-сится к площади треугольника COD как 1:3. Тогда отношениеsin A: sinD равно... .​

Answer 1

В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром в точке 0. Площадь Δ АОВ относится к площади Δ COD как 1:3. Тогда отношение  sin A: sinD равно... .​

Объяснение:

Центр вписанной окружности O лежит в точке пересечения биссектрис углов трапеции. Соединим т. О с точкой касания окружности с боковыми сторонами . Это будет радиус и высота ΔАОВ и ΔCOD ( кстати, прямоугольных) .

S(AOB)=0,5*AB*r   ,S(COD)=0,5*CD*r  . Тогда отношение

$\frac{S(AOB)}{S(COD)} =\frac{1}{3} =\frac{0,5*AB*r}{0,5*CD*r} =\frac{AB}{CD}$ .

Пусть ВК⊥АD ,СР⊥АD.  BK=CP =h

ΔABK-прямоугольный ,sin A=$\frac{h}{AB}$ .

ΔDCP-прямоугольный ,sin D=$\frac{h}{CD}$ .

Отношение    $\frac{sin A}{sin D} =\frac{CD}{AB} =\frac{3}{1}$  .

Answer 2

Пусть точка O - центр вписанной окружности, а точка V - точка касания окружности с продолжением стороны AD. Также обозначим через M и N точки касания окружности со сторонами BC и CD соответственно.

Из условия, что треугольник AOV вписан в окружность, и что AO и CO являются касательными к окружности, получаем, что угол AOV равен половине угла COD (угол вписанный в полукруг равен половине соответствующего центрального угла):

∠AOV = 1/2 * ∠COD

Также известно, что площадь треугольника AOV составляет 1/4 от площади трапеции ABCD (так как площадь треугольника AOV вписанного в трапецию пропорциональна квадрату радиуса вписанной окружности), и площадь треугольника COD составляет 3/4 от площади трапеции.

Пусть S обозначает площадь треугольника AOV, а S' - площадь треугольника COD.

Таким образом, у нас есть:

S / S' = 1/4 / 3/4 = 1/3

Теперь мы можем рассмотреть соответствующие отношения синусов углов A и D:

sin A / sin D = S / OV / S' / OV = S / S' = 1 / 3

Итак, отношение sin A : sin D равно 1:3.