Question

Даю 25 баллов за правильное решение: Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Answer 1

Ответ:

Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Проведём диагональ AC. Отрезки EF и GH будут средними линиями треугольников ABC и ADC. По теореме о средней линии треугольника, эти отрезки параллельны AC, значит параллельны и друг другу. АНанлогично можно доказать параллельность отрезков EH и FG. Получается, что противоположные строны четырёхугольника EFGH параллельны, и УАПР - параллелограмм (по свойствам параллелограмма)

Объяснение:

или так!!!

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD четырёхугольника ABCD. Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = AC и MN AC. Аналогично докажем, что KL = AC и KL AC. Значит, MN = KL и MN KL. Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм.

Answer 2

Давайте обозначим вершины выпуклого четырехугольника как A, B, C и D. Пусть M и N - середины сторон AB и CD соответственно, а P и Q - середины сторон BC и AD.

Чтобы доказать, что MNPQ - параллелограмм, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

1. Для начала рассмотрим стороны MN и PQ. Поскольку M и N - середины сторон AB и CD, то по свойствам серединных перпендикуляров мы знаем, что MN параллельна стороне CD и равна ей наполовину, и PQ параллельна стороне AD и равна ей наполовину. Таким образом, MN || CD и PQ || AD.

2. Теперь рассмотрим стороны MP и NQ. По свойствам серединных перпендикуляров мы также знаем, что MP параллельна стороне AC и равна ей наполовину, и NQ параллельна стороне BC и равна ей наполовину. Таким образом, MP || AC и NQ || BC.

Итак, мы видим, что все пары противоположных сторон MNPQ параллельны друг другу. Следовательно, по определению параллелограмма, MNPQ действительно является параллелограммом.

Таким образом, вершины M, N, P и Q, которые являются серединами сторон выпуклого четырехугольника, действительно образуют вершины параллелограмма.