Question

У прямокутному Δ ABC (кут C дорівнює 90° ) довжина катета AC дорівнює k, синус кута CAB дорівнює 3/5 . Знайдіть довжину гіпотенузи AB.

Answer 1

Ответ:

sin<CAB=CB/AB=3/5

sin^2<CAB+cos^2<CAB=1

cos<CAB=√(1-9/25)=√16/25=4/5=AC/AB

AB=AC/cos<CAB=k:4/5=5k/4

Answer 2

Ми маємо прямокутний трикутник ABC, де кут C дорівнює 90°. Катет AC має довжину k, а синус кута CAB (α) дорівнює 3/5. Ми хочемо знайти довжину гіпотенузи AB.

Знаючи синус кута, ми можемо використовувати співвідношення:

$\sin(\alpha) = \frac{протилежний}{гіпотенуза}$.

В даному випадку, протилежний куту α це сторона BC (гіпотенуза), і ми хочемо знайти її довжину. Позначимо довжину гіпотенузи як $AB = h$.

$\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB}$.

Підставимо відомі значення:

$\frac{3}{5} = \frac{BC}{h}$.

Тепер можна виразити довжину гіпотенузи $h$ через $BC$:

$h = \frac{BC}{\frac{3}{5}}$.

Також, ми знаємо, що $BC^2 + AC^2 = AB^2$ (теорема Піфагора для прямокутного трикутника). Підставимо відомі значення:

$k^2 + BC^2 = h^2$.

Ми можемо виразити $BC^2$ з першого співвідношення і підставити в друге:

$k^2 + \left(\frac{3}{5}h\right)^2 = h^2$.

Розв'яжемо це рівняння відносно $h$:

$k^2 + \frac{9}{25}h^2 = h^2$,

$\frac{16}{25}h^2 = k^2$,

$h^2 = \frac{25}{16}k^2$,

$h = \frac{5}{4}k$.

Отже, довжина гіпотенузи $AB$ дорівнює $\frac{5}{4}$ довжини катета $AC$:

$AB = \frac{5}{4}k$.