Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!!! ДАЮ 20 БАЛЛОВ!! Задача:В параллелограмме ABCD косинус угла A равен 1/√5. Найдите tg B.​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{tg \ \angle B = -2 }$

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, $\cos \angle A = \dfrac{1}{\sqrt{5} }$

Найти: $tg \ \angle B$ - ?

Решение: Так как по условию ABCD - параллелограмм, то по определению его противоположные стороны параллельны, тогда

∠A + ∠B = 180° как односторонние углы при параллельных прямых(BC║AD). Так как $\cos \angle A = \dfrac{1}{\sqrt{5} }$, то ∠A < 90°.

∠A + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 180° - ∠A. По формуле приведения:

cos ∠B = cos(180° - ∠A) = - cos ∠A = $-\dfrac{1}{\sqrt{5} }$

Так как все углы параллелограмма меньше 180° и больше 0°, то синус любого угла параллелограмма больше или равен нулю.

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \angle B + \cos^{2} \angle B = 1 \Longrightarrow \sin \angle B = \sqrt{1 - \cos^{2} \angle B} = \sqrt{1 - \left( -\dfrac{1}{\sqrt{5} } \right)^{2}}=$

$=\sqrt{1 - \dfrac{1}{5} }= \sqrt{\dfrac{5 - 1}{5} } = \sqrt{\dfrac{4}{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }$.

$tg \ \angle B = \dfrac{\sin \angle B}{\cos \angle B} = \dfrac{ \dfrac{2}{\sqrt{5} }}{-\dfrac{1}{\sqrt{5} }} = -\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{5} } = -2$.

Answer 2

Давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и обозначим углы следующим образом:

• Угол A: Угол между сторонами AB и AD.
• Угол B: Угол между сторонами AB и BC.

Известно, что косинус угла A равен 1/√5:

cos(A) = 1/√5

Также известно, что в параллелограмме противоположные углы равны, значит:

Угол C = Угол A

Теперь мы можем использовать основное соотношение между косинусом и тангенсом:

cos(A) = 1/√5 = adjacent/hypotenuse

Из этого соотношения мы видим, что противоположная сторона (параллельная стороне BC) равна √5, так как гипотенуза равна 1. Таким образом:

BC = √5

Теперь мы можем применить определение тангенса:

tg(B) = opposite/adjacent = AB/BC

Известно, что сторона AB параллельна стороне CD (так как это параллелограмм), и противоположные стороны параллелограмма равны, значит:

AB = CD

Таким образом:

tg(B) = AB/BC = CD/BC

Теперь мы можем выразить tg(B) через известные значения:

tg(B) = CD/BC = AD/BC (так как AD = CD)

Известно, что AD это одна из сторон параллелограмма, значит:

tg(B) = AD/BC

Но у нас уже есть информация о сторонах параллелограмма:

BC = √5 (как мы выяснили выше) cos(A) = 1/√5

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для тангенса через косинус:

tg(B) = AD/BC = √(1 - cos²(A))/cos(A)

Подставляя известные значения:

tg(B) = √(1 - (1/√5)²)/(1/√5) tg(B) = √(1 - 1/5)/(1/√5) tg(B) = √(4/5)/(1/√5) tg(B) = (√4)/1 tg(B) = 2

Итак, tg(B) = 2.