Question

Длины основании LM и KN трапеции KLMN равны соответственно 6 и 21.Биссектриса угла LKN делит сторону MN в отношении 2: 7 считая с вершины M, а биссектриса угла KNM делит сторону KL в отношении 1: 7 считая с вершины L. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Продлим биссектрисы до пересечения с прямой основания LM.

△AEL~△NEK (по накрест лежащим при LM||KN)

AL/KN =EL/EK =1/7 => AL=3

Аналогично BM/KN=2/7 => BM=6

A=N/2 (накрест лежащие) => △AMN - равнобедренный, MN=AM=9

Аналогично KL=LB=12

Опустим высоты (h) на большее основание KN.

CD=LM=6

Пусть KC=x, тогда DN=15-x

Теорема Пифагора для △KLC и △NMD

144 =h^2 +x^2

81 =h^2 +(15-x)^2

Решаем

63=x^2 -(15-x)^2 => x =(225+63)/30 =9,6

h =√(144-92,16) =7,2

S(KLMN) =1/2 (KN+LM)*h =1/2 *27 *7,2 =97,2

Answer 2

Давайте рассмотрим данные и используемые обозначения:

Длина основания LM = 6, Длина основания KN = 21, Отношение деления стороны MN биссектрисой угла LKN: 2:7, Отношение деления стороны KL биссектрисой угла KNM: 1:7.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла LKN со стороной MN как P и точку пересечения биссектрисы угла KNM со стороной KL как Q.

Согласно условию, отношение деления стороны MN биссектрисой угла LKN равно 2:7, поэтому:

MP / PN = 2 / 7.

Аналогично, отношение деления стороны KL биссектрисой угла KNM равно 1:7:

KQ / QL = 1 / 7.

Из условия задачи известно, что основания трапеции равны LM = 6 и KN = 21.

Площадь трапеции можно выразить через длины оснований и высоту (расстояние между ними):

Площадь трапеции = (сумма длин оснований) * (высота) / 2.

Высоту можно найти, используя подобные треугольники. Рассмотрим треугольник KMQ и треугольник LNP:

KQ / QL = 1 / 7, MP / PN = 2 / 7.

Так как высота трапеции параллельна основаниям, то треугольники KMQ и LNP подобны. То есть:

KQ / QM = QL / PN.

Подставляем известные значения:

1 / 7 = 7 / PN.

Отсюда находим, что PN = 49.

Теперь можем найти высоту трапеции, которая равна PN:

Высота = PN = 49.

Теперь подставляем все известные значения в формулу для площади трапеции:

Площадь = (6 + 21) * 49 / 2 = 27 * 49 = 1323.

Площадь трапеции KLMN равна 1323 квадратных единиц.